Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n+1-a_n-1=0，數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，a_nb_n+1=2a_n+1b_n．
（1）求S₂₀₀；　　　　　�。�2）求b_n．

Answer 1

解：（1）∵{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n+1-a_n-1=0，
∴a_n+1-a_n=1，
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項(xiàng)，d=1為公差的等差數(shù)列，
∴S₂₀₀=．
（2）由（1）得a_n=n，
∵數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，a_nb_n+1=2a_n+1b_n，
∴nb_n+1=2（n+1）b_n，
∴，
∴{}是以=2為首項(xiàng)，q=2為公比的等比數(shù)列，
∴=2×2^n-1=2ⁿ，
∴．
分析：（1）由{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n+1-a_n-1=0，知數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項(xiàng)，d=1為公差的等差數(shù)列，由此能求出S₂₀₀．
（2）由a_n=n，數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，a_nb_n+1=2a_n+1b_n，知nb_n+1=2（n+1）b_n，所以，由此知{}是以=2為首項(xiàng)，q=2為公比的等比數(shù)列，由此能求出b_n．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項(xiàng)，結(jié)合含兩個(gè)變量的不等式的處理問(wèn)題，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．