Question

已知a≠0，試討論函數(shù)f（x）=

a

1-x2

在區(qū)間（0，1）上單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：用函數(shù)的單調(diào)性定義來判斷并證明f（x）在（0，1）上的單調(diào)性即可．

解答： 解：a＜0時，f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，
a＞0時，f（x）在（0，1）上是增函數(shù)；
證明如下：任取x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂；
∴f（x₁）-f（x₂）=

a

1-x12

-

a

1-x22

=

a(x1+x2)(x1-x2)

(1-x12)(1-x22)

；
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁+x₂＞0，
x₁-x₂＜0，
（1-x12）（1-x22）＞0；
∴當(dāng)a＜0時，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x）在（0，1）上是減函數(shù)；
當(dāng)a＞0時，f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x）在（0，1）上是增函數(shù)．
綜上，a＜0時，f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，
a＞0時，f（x）在（0，1）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查了用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷與證明函數(shù)的單調(diào)性問題，也考查了分類討論的思想應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．