Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，若橢圓C上恰好有6個不同的點P，使得△F₁F₂P為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是

（

1

3

，

1

2

）∪（

1

2

，1）

．

Answer 1

分析：分等腰三角形△F₁F₂P以F₁F₂為底和以F₁F₂為一腰兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合以橢圓焦點為圓心半徑為2c的圓與橢圓位置關(guān)系的判斷，建立關(guān)于a、c的不等式，解之即可得到橢圓C的離心率的取值范圍．

解答：解：①當(dāng)點P與短軸的頂點重合時，
△F₁F₂P構(gòu)成以F₁F₂為底邊的等腰三角形，
此種情況有2個滿足條件的等腰△F₁F₂P；
②當(dāng)△F₁F₂P構(gòu)成以F₁F₂為一腰的等腰三角形時，
以F₂P作為等腰三角形的底邊為例，
∵F₁F₂=F₁P，
∴點P在以F₁為圓心，半徑為焦距2c的圓上
因此，當(dāng)以F₁為圓心，半徑為2c的圓與橢圓C有2交點時，
存在2個滿足條件的等腰△F₁F₂P，
此時a-c＜2c，解得a＜3c，所以離心率e＞

1

3

當(dāng)e=

1

2

時，△F₁F₂P是等邊三角形，與①中的三角形重復(fù)，故e≠

1

2

同理，當(dāng)F₁P為等腰三角形的底邊時，在e＞

1

3

且e≠

1

2

時也存在2個滿足條件的等腰△F₁F₂P
這樣，總共有6個不同的點P使得△F₁F₂P為等腰三角形
綜上所述，離心率的取值范圍是：e∈（

1

3

，

1

2

）∪（

1

2

，1）
故答案為：（

1

3

，

1

2

）∪（

1

2

，1）

點評：本題給出橢圓的焦點三角形中，共有6個不同點P使得△F₁F₂P為等腰三角形，求橢圓離心率e的取值范圍．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．