Question

已知函數(shù)f（x）=（ax²+bx+c）e^-x（a＜0）的圖象過點(diǎn)（0，-2），且在該點(diǎn)的切線方程為4x-y-2=0．
（1）若f（x）在（2，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）討論函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由f（0）=-2，可得c的值，求導(dǎo)函數(shù)，利用切線方程可得b=的值，根據(jù)f（x）在[2，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，可得（-ax-2）（x-2）e^-x≥0在[2，+∞）上恒成立，由此可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=（ax²+2x-2）e^-x，對(duì)其求導(dǎo)，令f′（x）=0得x=2，x=-

2

a

，討論2與-

2

a

的大小，確定區(qū)間的單調(diào)性，從而求極值．

解答： 解：（Ⅰ）由f（0）=-2，可得c=-2，
求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=（-ax²+2ax-bx+b-c）e^-x，
∴f′（0）=（b-c）e⁰=b-c，
∵切線方程為4x-y-2=0，∴b-c=4，∴b=2，
∴f（x）=（ax²+2x-2）e^-x，f′（x）=（-ax-2）（x-2）e^-x，
∵f（x）在（2，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，
∴（-ax-2）（x-2）e^-x≥0在（2，+∞）上恒成立
即-ax-2≥0，∴a≤-

2

x

，-

2

x

＞-1，∴a≤-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=（ax²+2x-2）e^-x，f′（x）=（-ax-2）（x-2）e^-x，
令f′（x）=0得x=2，x=-

2

a

，
①當(dāng)0＞a＞-1時(shí)，2＜-

2

a

，f′（x）在（-∞，2）和（-

2

a

，+∞）大于0，在（2，-

2

a

）小于0，
∴f（x）在（-∞，2）和（-

2

a

，+∞）單調(diào)遞增；在（2，-

2

a

）單調(diào)遞減．
此時(shí)f（x）的極大值f（2）=（4a+2）e^-2，極小值為f（（-

2

a

）=-2e

2

a

；
②a≤-1時(shí)，2＞-

2

a

，f′（x）在（-∞，-

2

a

，）和（2，∞）大于0，在（-

2

a

，2）小于0，
∴f（x）在（-∞，-

2

a

，）和（2，+∞）單調(diào)遞增；在（-

2

a

，2）單調(diào)遞減．
此時(shí)f（x）的極小值f（2）=（4a+2）e^-2，極大值為f（（-

2

a

）=-2e

2

a

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求參數(shù)范圍以及利用討論的思想求函數(shù)的極值．