平面直角坐標系中，O為坐標原點，給定兩點A（1，0），B（0，-2），點C滿足
OC
=α
OA
+β
OB
，其中α，β∈R，且α-2β=1．
（Ⅰ）求點C的軌跡方程；
（Ⅱ）設點C的軌跡與雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)交于兩點M，N，且以MN為直徑的圓過原點，求證：
1
a2
-
1
b2
為定值．
（Ⅰ）設C（x，y），∵
OC
=α
OA
+β
OB
，
∴（x，y）=α（1，0）+β（0，-2）．
∴
x=α
y=-2β
 &∵α-2β=1
 &∴x+y=1

即點C的軌跡方程為x+y=（15分）
（Ⅱ）由
x+y=1
x2
a2
-
y2
b2
=1
得（b2-a2）x2+2a2x2-a2-a2b2=0
由題意得
b2-a2≠0
(2a2)2+4(b2-a2)(a2+a2b2)=4a2(b4+b2-a2)＞0
（8分）
設M（x1，y1），N（x2，y2），
則x1+x2=-
2a2
b2-a2
，x1x2=-
a2+a2b2
b2-a2
（10分）
∵以MN為直徑的圓過原點，∴
OM
•
ON
=0．即x1x2+y1y2=0．
∴x1x2+（1-x1）（1-x2）=1-（x1+x2）+2x1x2
=1+
2a2
b2-a2
-
2(a2+a2b2)
b2-a2
=0．即b2-a2-2a2b2=0．
∴
1
a2
-
1
b2
=2為定值．（14分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A（3，1）、B（-1，3），若點C滿足
OC
=α
OA
+β
OB
，其中α、β∈R，且α+β=1，則點C的軌跡方程為（　�。�
A、3x+2y-11=0
B、（x-1）2+（y-2）2=5
C、2x-y=0
D、x+2y-5=0

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知水平地面上有一籃球，在斜平行光線的照射下，其陰影為一橢圓（如圖），在平面直角坐標系中，O為原點，設橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），籃球與地面的接觸點為H，則|OH|=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，O（0，0），P（6，8），將向量
OP
按逆時針旋轉(zhuǎn)
π
4
后，得向量
OQ
則點Q的坐標是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

平面直角坐標系中，O為坐標原點，給定兩點A（1，0）、B（0，-2），點C滿足   
OC
=α
OA
+β
OB
，其中α、β∈R，且α-2β=1
（1）求點C的軌跡方程；
（2）設點C的軌跡與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)交于兩點M、N，且以MN為直徑的圓過原點，求證：
1
a2
+
1
b2
為定值；
（3）在（2）的條件下，若橢圓的離心率不大于
2
2
，求橢圓長軸長的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2006•海淀區(qū)二模）平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩定點A（1，0）、B（0，-1），動點P（x，y）滿足：
OP
=m
OA
+(m-1)
OB
(m∈R)．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）設點P的軌跡與雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)交于相異兩點M、N．若以MN為直徑的圓經(jīng)過原點，且雙曲線C的離心率等于
3
，求雙曲線C的方程．

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