Question

已知函數(shù)f（x）=|x²-2x-3|．若a＜b＜1，f（a）=f（b），則2a+b的取值范圍是

[3-2

10

，3-4

2

）

．

Answer 1

分析：作出f（x）=|x²-2x-3|的圖象，結(jié)合題意，可求得a，b的取值范圍，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，可求得2a+b的取值范圍．

解答：解：f（x）=|x²-2x-3|=|（x-3）（x+1）|，
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）=4，

令 f（x）=4，則x=1或x=1-2

2

或 x=1+2

2

，
∵a＜b＜1，f（a）=f（b），
∴-1＜b＜1，1-2

2

＜a＜-1；
（a-1）²-4=4-（b-1）²，即（a-1）²+（b-1）²=8，
由函數(shù)f（x）的圖象知，-1＜b＜1，1-2

2

＜a＜-1，
在平面直角坐標(biāo)系aOb中作出（a-1）²+（b-1）²=8（-1＜b＜1，1-2

2

＜a＜-1）的圖象，是第二、三象限內(nèi)的一段弧，

作出直線2a+b=c的圖象，由點(diǎn)到直線間的距離公式得：

|3-c|

5

≤2

2

，解得3-2

10

≤c≤3+2

10

，
將點(diǎn)（1-2

2

，1）代入2a+b=c得：
c=2（1-2

2

）+1=3-4

2

，
∴2a+b的取值范圍是[3-2

10

，3-4

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶絕對(duì)值的函數(shù)，突出考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查線性規(guī)劃問題，作圖是難點(diǎn)，屬于難題．