Question

已知函數(shù)
（1）若曲線y=f（x）在x=2處的切線與直線x+y+2=0互相垂直，求a的值；
（2）若a≥1，求f（x）在[0，e]（e為自然對數(shù)的底數(shù)）上的最大值；
（3）對任意給定的正實數(shù)a，曲線y=f（x）上是否存在兩點P，Q，使得POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上？

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出導函數(shù)f'（x），求出的值從而得到切線的斜率，根據(jù)兩直線垂直斜率乘積為-1建立等式關系，解之即可求出a的值．
（2）根據(jù)導函數(shù)f′（x）＞0和f′（x）＜0求出x的范圍，從而得到f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而得出函數(shù)在[0，e]上的最大值；
（3）假設曲線y=f（x）上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在y軸兩側．設P（t，f（t））（t＞0），則Q（-t，t³+t²），顯然t≠1．由此入手能得到對任意給定的正實數(shù)a，曲線y=f（x）上存在兩點P、Q，使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上．
解答：解：（1）∵x≥1時，，
由已知得．
a=2…（3分）
（2）因為，
①當0≤x≤1時，f'（x）=-x（3x-2），解f'（x）＞0得到；解f'（x）＜0得到．
所以f（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
從而f（x）在處取得極大值也是最大值． 所以f（x）在[0，1）上的最大值為．…（6分）
②當1≤x≤e時，f'（x）=alnx，因a≥1，所以f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
從而f（x）在[1，e]處取得極大值也是最大值f（e）=a，
因為a＞，所以，若a≥1，f（x）在[0，e]上的最大值為a．…（9分）．
（3）假設曲線y=f（x）上存在兩點P，Q，使得POQ是以O為直角頂點的直角三角形，
則P，Q只能在y軸的兩側，不妨設P（t，f（t））（t＞0），則Q（-t，t³+t²），且t≠1．
因為△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，所以=0，
即：-t²+f（t）•（t³+t²）=0（1）…（10分）
是否存在點P，Q等價于方程（1）是否有解．
若0＜t＜1，則f（t）=-t³+t²，代入方程（1）得：t⁴-t²+1=0，此方程無實數(shù)解．
若t≥1，則f（t）=alnt，代入方程（1）得到：=（t+1）lnt，（12分）
設h（x）=（x+1）lnx（x≥1），則h'（x）=lnx++1＞0在[1，+∞）上恒成立．
所以h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，從而h（x）≥h（1）=0，
所以當a＞0時，方程=（t+1）lnt有解，即方程（1）有解．
所以，對任意給定的正實數(shù)a，曲線y=f（x）上存在兩點P，Q，
使得POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上．（14分）
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及直線的一般式方程與直線的垂直關系，還考查導數(shù)的性質(zhì)和應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，解答關鍵是利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．