Question

在△ABC中，A=30°，BC=2，D是AB邊上的一點，CD=2，△BCD的面積為4，則AC的長為    ．

Answer 1

【答案】分析：由△BCD的面積為4，求得sin∠BCD 的值，進(jìn)而求得cos∠BCD 的值，△BCD中，由余弦定理可得BD 的值，△BCD中，由正弦定理求得sinB 的值．再在△ABC中，由正弦定理求得AC的長．
解答：解：由題意可得CB•CD•sin∠BCD=4，即 ×2×2 sin∠BCD=4，解得 sin∠BCD=．
①當(dāng)∠BCD 為銳角時，cos∠BCD=．
△BCD中，由余弦定理可得 BD==4．
△BCD中，由正弦定理可得 ，即 ，故 sinB=．
在△ABC中，由正弦定理可得 ，即 ，解得 AC=4．
②當(dāng)∠BCD 為鈍角時，cos∠BCD=-．
△BCD中，由余弦定理可得 BD==4 ．

△BCD中，由正弦定理可得 ，即 ，故 sinB=．
在△ABC中，由正弦定理可得 ，即 ，解得 AC=2．
綜上可得 AC=4或2，
故答案為  4或2．
點評：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，判斷三角形的形狀的方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，討論∠BCD 為銳角和鈍角兩種情況，是解題的易錯點，是一個中檔題目．