Question

19．已知對(duì)任意n∈N^*，向量$\overrightarrow{d_n}=（{{a_{n+1}}-\frac{1}{4}{a_n}\;，\;\frac{{a_{n+1}^2}}{a_n}}）$都是直線y=x的方向向量，設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a₁=1，則$\lim_{n→∞}{S_n}$=2．

Answer 1

分析 先判斷數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，再利用無窮等比數(shù)列的求和公式即可求出$\lim_{n→∞}{S_n}$．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{d_n}=（{{a_{n+1}}-\frac{1}{4}{a_n}\;，\;\frac{{a_{n+1}^2}}{a_n}}）$都是直線y=x的方向向量，
∴a_n+1-$\frac{1}{4}$a_n=$\frac{{{a}_{n+1}}^{2}}{{a}_{n}}$，
∴a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n，
∵a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴$\lim_{n→∞}{S_n}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2．
故答案為：2

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的極限的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等比數(shù)列運(yùn)算公式的靈活運(yùn)用．