Question

己知二次函數y=f（x） 的圖象過點（1，-4），且不等式f（x）＜0的解集是（O，5）．
（I ）求函數f（x）的解析式；
（II）設g（x）=x³-（4k-10）x+5，若函數h（x）=2f（x）+g（x）在[-4，-2]上單調遞增，在[-2，0]上單調遞減，求y=h（x）在[-3，1]上的最大值和最小值..

Answer 1

【答案】分析：（1）根據函數零點，方程根與不等式解集端點之間的關系，結合二次函數y=f（x） 的圖象過點（1，-4），可求出函數f（x）的解析式；
（II）由（I）可求出函數h（x）的解析式（含參數k），進而由函數極大值點為-2，求出k值，結合導數法求最值的步驟，可得答案．
解答：解：（Ⅰ）由已知y=f （x）是二次函數，且f （x）＜0的解集是（0，5），
可得f （x）=0的兩根為0，5，
于是設二次函數f （x）=ax（x-5），
代入點（1，-4），得-4=a×1×（1-5），解得a=1，
∴f （x）=x（x-5）． …（4分）
（Ⅱ）h（x）=2f （x）+g（x）=2x（x-5）+x³-（4k-10）x+5=x³+2x²-4kx+5，
于是h′（x）=3x²+4x-4k，
∵h（x）在[-4，-2]上單調遞增，在[-2，0]上單調遞減，
∴x=-2是h（x）的極大值點，
∴h′（2）=3×（-2）²+4×（-2）-4k=0，解得k=1．  …（6分）
∴h（x）=x³+2x²-4x+5，進而得h′（x）=3x²+4x-4．
令h′（x）=3x²+4x-4=0，得x=-2，或x=．
由下表：

x	（-3，-2）	-2	（-2，）		（，1）
h′（x）	+		-		+
h（x）	↗	極大	↘	極小	↗

可知：h（-2）=（-2）³+2×（-2）²-4×（-2）+5=13，h（1）=1³+2×1²-4×1+5=4，
h（-3）=（-3）³+2×（-3）²-4×（-3）+5=8，h（）=（）³+2×（）²-4×+5=，
∴h（x）的最大值為13，最小值為．…（12分）
點評：本題考查的知識點是二次函數的性質，函數零點，方程根與不等式解集端點的關系，導數法求函數的極值與最值，其中求出函數h（x）的解析式是解答的關鍵．