Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為4(

2

+1)
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)n是過原點(diǎn)的直線，l是與n垂直相交于P點(diǎn)、與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)的直線，|

OP

|=1，是否存在上述直線l使

AP

•

PB

=1成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，由題意知

c

a

=

2

2

，2a+2c=4(

2

+1)，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），假設(shè)使

AP

•

PB

=1成立的直線l存在，當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx+m，由l與n垂直相交于P點(diǎn)且|

OP

|=1得

|m|

1+k2

=1，由

AP

•

PB

=1，|

OP

|=1，知x₁x₂+y₁y₂=0．將y=kx+m代入橢圓方程，得（1+2k²）x²+4kmx+（2m²-8）=0，由韋達(dá)定理能夠?qū)С鰇²=-1，即此時(shí)直線l不存在；當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，滿足|

OP

|=1的直線l的方程為x=1或x=-1，由此能夠?qū)С龃藭r(shí)直線l不存在．所以使

AP

•

PB

=1成立的直線l不存在．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，
由題意知

c

a

=

2

2

，2a+2c=4(

2

+1)
所以a=2

2

，c=2，又a²=b²+c²，因此b=2
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

8

+

y2

4

=1（6分）
（Ⅱ）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
假設(shè)使

AP

•

PB

=1成立的直線l存在，
（�。┊�(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx+m，
由l與n垂直相交于P點(diǎn)且|

OP

|=1得

|m|

1+k2

=1，即m²=k²+1
∵

AP

•

PB

=1，|

OP

|=1，
∴

OA

•

OB

=(

OP

+

PA

)•(

OP

+

PB

)
=

OP

2+

OP

•

PB

+

PA

•

OP

+

PA

•

PB

=1+0+0-1=0，
即x₁x₂+y₁y₂=0
將y=kx+m代入橢圓方程，得（1+2k²）x²+4kmx+（2m²-8）=0
由求根公式可得x1+x2=

-4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-8

1+2k2

0=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=x₁x₂+k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
因此（1+k²）（2m²-8）-4k²m²+m²（1+2k²）=0
將m²=k²+1代入上式并化簡(jiǎn)得k²=-1，
即此時(shí)直線l不存在；（10分）
（ⅱ）當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，滿足|

OP

|=1的直線l的方程為x=1或x=-1，
當(dāng)x=1時(shí)，A，B，P的坐標(biāo)分別為(1，

14

2

)， (1，-

14

2

)， (1，0)，
∴

AP

=(0， 

14

2

)，  

PB

=(0， 

14

2

)，∴

AP

•

PB

=

7

2

≠1
當(dāng)x=-1時(shí)，同理可得

AP

•

PB

≠1，矛盾，即此時(shí)直線l不存在
綜上可知，使

AP

•

PB

=1成立的直線l不存在．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意計(jì)算能力的培養(yǎng)，提高解題能力和解題技巧．