Question

設(shè)f（x）=e^x（mx²+x+1），且曲線y=f（x）在x=1處的切線與x軸平行．
（1）求m的值及f（x）的極值；
（2）證明：當(dāng)α，β∈[0，

π

2

]時(shí)，f（cosα）-f（sinβ）≤e-1．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后根據(jù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)值等于其切線的斜率可求m的值，然后當(dāng)f'（x）＜0時(shí)可求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，當(dāng)f'（x）＞0時(shí)可求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即可得到極值；
（2）先確定函數(shù)f（x）在[0，1]單調(diào)增，求出最大值和最小值，即有任意x₁，x₂∈[0，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1，即可得證．

解答： （1）解：f'（x）=e^x（mx²+x+1+2mx+1）．
由條件知，f'（1）=0，故m+3+2m=0⇒m=-1．
即有f（x）=e^x（-x²+x+1），
于是f'（x）=e^x（-x²-x+2）=-e^x（x+2）（x-1）．
故當(dāng)x∈（-∞，-2）或（1，+∞）時(shí)，f'（x）＜0；
當(dāng)x∈（-2，1）時(shí)，f'（x）＞0．
從而f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）單調(diào)減少，在（-2，1）單調(diào)增加．
即有x=-2處f（x）取得極小值，且為-5e^-2，x=1處取得極大值，且為e；
（2）證明：由（1）知f（x）在[0，1]單調(diào)增加，
故f（x）在[0，1]的最大值為f（1）=e，
最小值為f（0）=1．
從而對任意x₁，x₂∈[0，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1．
而當(dāng)α，β∈[0，

π

2

]時(shí)，cosα，sinβ∈[0，1]．
從而f（cosα）-f（sinβ）≤e-1．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況之間的關(guān)系，即導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．同時(shí)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值的方法，屬于中檔題．