已知橢圓C的中心在原點，焦點y在軸上，焦距為2
3
，且過點M(-
13
4
，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點N(
1
2
，1)的直線l交橢圓C于A、B兩點，且N恰好為AB中點，能否在橢圓C上找到點D，使△ABD的面積最大？若能，求出點D的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．
（1）法一：依題意，設(shè)橢圓方程為
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)，則2c=2
3
，c=
3
，
∵橢圓兩個焦點為F1(0，-
3
)，F2(0，
3
)，∴2a=|MF1|+|MF2|=
(-
13
4
)2+(
3
2
+
3
)2
+
(-
13
4
)2+(
3
2
-
3
)2
=4，∴a=2．
∴b2=a2-c2=1，∴橢圓C的方程為
y2
4
+x2=1．
法二：依題意，設(shè)橢圓方程為
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)，則
2c=2
3
(
3
2
)2
a2
+
(-
13
4
)2
b2
=1
，即
a2-b2
=
3
3
4a2
+
13
16b2
=1
，解之得
a=2
b=1
，
∴橢圓C的方程為
y2
4
+x2=1．
（2）法一：設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），則
x1+x2
2
=
1
2
，
y1+y2
2
=1，
y12
4
+x12=1…①
y22
4
+x22=1…②
①-②，得
y12-y22
4
+x12-x22=0，
∴kAB=
y1-y2
x1-x2
=
-(x1+x2)
y1+y2
4
=
-1
2
4
=-2，
設(shè)與直線AB平行且與橢圓相切的直線方程為l'：2x+y+m=0，
聯(lián)立方程組
y2
4
+x2=1
2x+y+m=0
，消去y整理得8x2+4mx+m2-4=0，
由判別式△=16m2-32（m2-4）=0得m=±2
2
，
由圖知，當(dāng)m=2
2
時，l'與橢圓的切點為D，此時△ABD的面積最大，
∵m=2
2
，∴xD=-
m
4
=-
2
2
，yD=-
2
．
∴D點的坐標(biāo)為(-
2
2
，-
2
)．
法二：設(shè)直線AB的方程為y-1=k(x-
1
2
)，聯(lián)立方程組
y2
4
+x2=1
y-1=k(x-
1
2
)
，
消去y整理得(k2+4)x2-(k2-2k)x+
1
4
k2-k-3=0，
設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），則x1+x2=
k2-2k
k2+4
=1，∴k=-2．
∴直線AB的方程為y-1=-2(x-
1
2
)，即2x+y-2=0．
（以下同法一）．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：y2=4x的準(zhǔn)線與x軸交于M點，過M點斜率為k的直線l與拋物線C交于A、B兩點（A在M、B之間）．
（1）F為拋物線C的焦點，若|AM|=
5
4
|AF|，求k的值；
（2）如果拋物線C上總存在點Q，使得QA⊥QB，試求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線的中心在原點，左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為
2
，且過點(4，-
10
)，
（1）求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線系kx-y-3k+m=0（其中k為參數(shù)）所過的定點M恰在雙曲線上，求證：F1M⊥F2M．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)過點(
3
，
2
2
)，它的離心率為
6
2
，P、Q分別在雙曲線的兩條漸近線上，M是線段PQ中點，|PQ|=2
2
．
（Ⅰ）求雙曲線及其漸近線方程；
（Ⅱ）求點M的軌跡C的方程；
（Ⅲ）過C左焦點F1的直線l與C相交于點A、B，F(xiàn)2為C的右焦點，求△ABF2面積最大時
F2A
•
F2B
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若直線y=k（x-2）+1與曲線y=-
1-x2
有兩上不同的交點，則k的取值范圍是（　　）
A．[1，
4
3
]		B．[1，
4
3
)		C．(
3
4
，1]		D．(0，
4
3
)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

（A題）已知點P是圓x2+y2=4上一動點，直線l是圓在P點處的切線，動拋物線以直線l為準(zhǔn)線且恒經(jīng)過定點A（-1，0）和B（1，0），則拋物線焦點F的軌跡為（　　）
A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．
（Ⅰ）若橢圓的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為2+
3
和2-
3
，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，過坐標(biāo)原點O任作兩條互相垂直的直線與橢圓分別交于P、Q和R、S四點．設(shè)原點O到四邊形PRQS某一邊的距離為d，試求：當(dāng)d=1時
1
a2
+
1
b2
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，設(shè)P是圓x2+y2=2上的動點，PD⊥x軸，垂足為D，M為線段PD上一點，且|PD|=
2
|MD|，點A、F1的坐標(biāo)分別為（0，
2
），（-1，0）．
（1）求點M的軌跡方程；
（2）求|MA|+|MF1|的最大值，并求此時點M的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知
a
=(x，0)，
b
=(1，y)，且(
a
+
3
b
)⊥(
a
-
3
b
)．
（1）求點P（x，y）的軌跡C的方程，且畫出軌跡C的草圖；
（2）若直線l：y=kx+m（k≠0）與上述曲線C交于不同的兩點A、B，求實數(shù)k和m所滿足的條件；
（3）在（2）的條件下，若另有定點D（0，-1），使|AD|=|BD|，試求實數(shù)m的取值范圍．

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