(2013•閔行區(qū)一模)設(shè)數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),前n項和為Sn,已知4Sn=
a
2
n
+2an+1(n∈N*)

(1)證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列,并求其通項公式;
(2)是否存在k∈N*,使得Sk2=
a
2
k+2048
,若存在,求出k的值;若不存在請說明理由;
(3)證明:對任意m、k、p∈N*,m+p=2k,都有
1
Sm
+
1
Sp
2
Sk
分析:(1)首先在遞推式中取n=1求出a1,再取n=n+1得另一遞推式,兩式作差后可得到數(shù)列是等差數(shù)列,從而可求通項公式;
(2)假設(shè)存在k∈N*,使得Sk2=
a
2
k+2048
,代入通項公式和前n項和公式后可求k的值;
(3)由等差數(shù)列的前n項和求得Sm,Sp,Sk,把要證明的不等式作差后利用基本不等式放縮后可得結(jié)論.
解答:(1)解:∵4Sn=
a
2
n
+2an+1
,
∴當(dāng)n≥2時,4Sn-1=
a
2
n-1
+2an-1+1

兩式相減得4an=
a
2
n
-
a
2
n-1
+2an-2an-1
,
∴(an+an-1)(an-an-1-2)=0
∵an>0,∴an-an-1=2,
4S1=
a
2
1
+2a1+1
,∴a1=1
∴{an}是以a1=1為首項,d=2為公差的等差數(shù)列. 
∴an=a1+(n-1)d=2n-1;
(2)解:由(1)知Sn=
(1+2n-1)n
2
=n2

假設(shè)正整數(shù)k滿足條件,
則(k22=[2(k+2048)-1]2
∴k2=2(k+2048)-1,
解得k=65;                         
(3)證明:由Sn=n2得:Sm=m2,Sk=k2Sp=p2
于是
1
Sm
+
1
Sp
-
2
Sk
=
1
m2
+
1
p2
-
2
k2
=
k2(p2+m2)-2m2p2
m2p2k2

∵m、k、p∈N*,m+p=2k,
k2(p2+m2)-2m2p2
m2p2k2

=
(
m+p
2
)
2
(p2+m2)-2m2p2
m2p2k2
mp×2pm-2m2p2
m2p2k2
=0

1
Sm
+
1
Sp
2
Sk
點評:本題考查了利用遞推式求數(shù)列的通項公式,考查了利用作差法證明不等式,解答此題的關(guān)鍵是利用基本不等式進(jìn)行放縮,此題是中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•閔行區(qū)一模)已知復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=4i(i為虛數(shù)單位),則z=
2+2i
2+2i

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•閔行區(qū)一模)已知集合A={a,b,c,d,e},B={c,d,e,f},全集U=A∪B,則集合CU(A∩B)中元素的個數(shù)為
3
3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•閔行區(qū)一模)已知拋物線y2=4x的焦點與圓x2+y2+mx-4=0的圓心重合,則m的值是
-2
-2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•閔行區(qū)一模)已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=3x+1的圖象關(guān)于直線y=x對稱,則g(10)的值為
2
2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•閔行區(qū)一模)某算法的程序框圖如右圖,若輸出的S的值為62,則正整數(shù)n的值為
5
5

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案