Question

（08年濱州市質檢三文） （14分）  如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經過點M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），l交橢圓于A、B兩個不同點.

   （I）求橢圓的方程；

   （II）求m的取值范圍；

   （III）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.

 

Answer 1

解析：（I）設橢圓方程為………………1分

    則………………3分

    ∴橢圓方程………………4分

   （II）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m

又

∴l的方程為：……………………………………………………5分

由

∵直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，

    ∴m的取值范圍是………………………………8分

   （III）設直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只需證明k₁+k₂=0即可…………9分

    設

    可得

    ……………………………………………………10分

    而

   

    ……………………………………13分

    ∴k₁+k₂=0

    故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.…………………………14分