Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+b的圖象在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線為3x+y-3=0．
（1）求函數(shù)f（x）及單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)在區(qū)間[0，t]（t＞0）上的最值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線為3x+y-3=0，求出解析式，然后利用導(dǎo)函數(shù)大于0求出單調(diào)增區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)小于0求出單調(diào)減區(qū)間；
（2）討論t與2的大小，根據(jù)函數(shù)在[0，t]上的單調(diào)性研究函數(shù)的最值即可．
解答：解：（1）由P點(diǎn)在切線上得f（1）=0，即點(diǎn)P（1，0）又要在y=f（x）上，
得a+b=-1
又f'（1）=-3⇒2a=-6故f（x）=x³-3x²+2
f'（x）=3x²-6x，令f'（x）＞0解得x＞2或x＜0，
∴f（x）的增區(qū)間是（-∞，0），（2，+∞），減區(qū)間是（0，2）
（2）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，f（x）_max=f（0）=2，f（x）_min=f（t）=t³-3t²+2
當(dāng)2＜t≤3時(shí)，f（x）_max=f（0）=f（3）=2，f（x）_min+2=f（2）=-2
當(dāng)t＞3時(shí)，f（x）_max=f（t）=t³-3t²+2，f（x）_min=f（2）=-2
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及對(duì)函數(shù)單調(diào)性的分類討論，函數(shù)的最值等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．