Question

如果一個三位正整數(shù)形如“abc”，滿足a＜b且b＞c，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)（如120，363，475等），那么所有的三位凸數(shù)有

 

個．

Answer 1

考點：計數(shù)原理的應(yīng)用

專題：排列組合

分析：根據(jù)題意，先分析中間的數(shù)，再研究首位與個位數(shù)，即按中間數(shù)進行分類討論，求得當(dāng)中間數(shù)為n時，首位有（n-1）種情況，個位有n種情況，故總的種數(shù)共有n（n-1）種，進而相加可得答案．

解答： 解：根據(jù)題意，對十位數(shù)即中間數(shù)分情況討論：
當(dāng)中間數(shù)是2時，首位可取1，個位可取0，1，故總的種數(shù)有2×1=2個，
當(dāng)中間數(shù)為3時，首位可取1，2，個位可取0，1，2，故總的種數(shù)共有2×3=6個，
…
當(dāng)中間數(shù)為9時，首位可取1，2，…，8個位可取0，1，2，…，8故總的種數(shù)共有8×9=72，
歸納可得，當(dāng)中間數(shù)為n時，首位有（n-1）種情況，個位有n種情況，故總的種數(shù)共有n（n-1）種，
故所有凸數(shù)個數(shù)為1×2+2×3+3×4+…+8×9=2+6+12+20+30+42+56+72=240
故答案：240

點評：本題考查分類計數(shù)原理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題中所給的凸數(shù)的定義，進而按中間的數(shù)進行分類，歸納出中間數(shù)與可得凸數(shù)的個數(shù)的關(guān)系．