在如圖所示的多面體PMBCA中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC是邊長為2的正三角形，PM∥BC，且BC=2PM=4，AB=2
5
．
（Ⅰ）求證：PA⊥BC；
（Ⅱ）求多面體PMBCA的體積．
考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積
專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離
分析：（Ⅰ）先證明AC⊥BC，再利用平面PAC⊥平面ABC，證明BC⊥平面PAC，即可證明PA⊥BC；
（Ⅱ）作AD⊥PC于點D，證明AD⊥平面BCPM，求出四邊形BCPM的面積，即可求多面體PMBCA的體積．
解答： （Ⅰ）證明：∵AC=2，BC=4，AB=2
5
，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面PAC，
∵PA?平面PAC，∴BC⊥PA．…..（6分）
（Ⅱ）解：作AD⊥PC于點D．由（Ⅰ）知BC⊥平面PAC，∴BC⊥AD，BC⊥PC
又PM∥BC，且BC=2PM=4，∴四邊形BCPM是上、下底分別為2、4，高為2的直角梯形，其面積為6．
又BC∩PC=C，∴AD⊥平面BCPM，AD=
3
．
故多面體PMBCA的體積為
1
3
×SBCPM×AD=
1
3
×6×
3
=2
3
．…..（13分）
點評：本題考查面面垂直的性質(zhì)，線面平行的判定，考查多面體PMBCA的體積，正確運用面面垂直的性質(zhì)是關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列選項中，說法正確的是（　　）
A、命題“若x2=1，則x=1”的否命題為：“若x2=1，則x≠1”
B、命題“若am2＜bm2，則a＜b”的逆命題是真命題
C、命題“?x∈R，x2-x+1≥0”的否定是：“?x0∈R，x02-x0+1≤0”
D、命題“若x=y，則cosx=cosy”的逆否命題為真命題

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=
1
(3x-2)2
的導數(shù)是（　�。�
A、
6
(3x-2)3
B、
6
(3x-2)2
C、-
6
(3x-2)3
D、-
6
(3x-2)2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是BC、C1C、C1D1、A1A的中點．求證：
（1）BF∥HD1；
（2）EG∥平面BB1D1D；
（3）平面BDF∥平面B1D1H．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=
1
2
CD=1．現(xiàn)以AD為一邊向形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF翻折，使平面ADEF與平面ABCD垂直，M為ED的中點，如圖2．
（1）求證：AM∥平面BEC；
（2）求證：BC⊥平面BDE；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上一點C，且OA=OB，CA=CB，⊙O交直線OB于點E、D．
（Ⅰ）求證：直線AB是⊙O的切線；
（Ⅱ）若tan∠CED=
1
2
，⊙O的半徑為6，求OA的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，底面半徑為1，高為2的圓柱，有A點有一只螞蟻，現(xiàn)在這只螞蟻要圍繞圓柱由A點爬到B點，問螞蟻爬行的最短距離是多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA=PD=
2
，PA⊥PD，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，O為AD中點．
（1）求直線PB與平面POC所成角的余弦值．
（2）求B點到平面PCD的距離．
（3）線段PD上是否存在一點Q，使得二面角Q-AC-D的余弦值為
6
3
？若存在，求出
PQ
QD
的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

判斷并證明函數(shù)f（x）=
2x-1
x-1
在（1，+∞）上的單調(diào)性．

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