Question

（2013•鹽城三模）已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=-n+p，數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=2^n-5．設(shè)c_n=

an，an≤bn bn，an＞bn

，若在數(shù)列{c_n}中，c₈＞c_n（n∈N^*，n≠8），則實(shí)數(shù)p的取值范圍是

（12，17）

．

Answer 1

分析：由c_n表達(dá)式知c_n是a_n，b_n中的較小者，易判斷{a_n}是遞減數(shù)列，{b_n}是遞增數(shù)列，由c₈＞c_n（n≠8）知c₈是c_n的最大者，從而可知n=1，2，3，…7，8時(shí)，c_n遞增，n=8，9，10，…時(shí)，c_n遞減，進(jìn)而可知a_n與b_n的大小關(guān)系，且c₈=a₈或c₈=b₈，分兩種情況討論，當(dāng)c₈=a₈時(shí)，a₈＞b₇，當(dāng)c₈=b₈時(shí)，b₈＞a₉，分別解出p的范圍，再取并集即可；

解答：解：當(dāng)a_n≤b_n時(shí)，c_n=a_n，當(dāng)a_n＞b_n時(shí)，c_n=b_n，∴c_n是a_n，b_n中的較小者，
因?yàn)閍_n=-n+p，所以{a_n}是遞減數(shù)列；因?yàn)閎_n=2^n-5，所以{b_n}是遞增數(shù)列，
因?yàn)閏₈＞c_n（n≠8），所以c₈是c_n的最大者，
則n=1，2，3，…7，8時(shí)，c_n遞增，n=8，9，10，…時(shí)，c_n遞減，
因此，n=1，2，3，…7時(shí)，2^n-5＜-n+p總成立，
當(dāng)n=7時(shí)，2^7-5＜-7+p，∴p＞11，
n=9，10，11，…時(shí)，2^n-5＞-n+p總成立，
當(dāng)n=9時(shí)，2^9-5＞-9+p，成立，∴p＜25，
而c₈=a₈或c₈=b₈，
若a₈≤b₈，即2³≥p-8，所以p≤16，
則c₈=a₈=p-8，
∴p-8＞b₇=2^7-5，∴p＞12，
故12＜p≤16，
 若a₈＞b₈，即p-8＞2^8-5，所以p＞16，
∴c₈=b₈=2³，
那么c₈＞c₉=a₉，即8＞p-9，
∴p＜17，
故16＜p＜17，
綜上，12＜p＜17．
故答案為：（12，17）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合、數(shù)列的函數(shù)特性，考查分類討論思想，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，考查學(xué)生邏輯推理能力，難度較大．