Question

曲線C是平面內(nèi)與定點(diǎn)F（2，0）和定直線x=-2的距離的積等于4的點(diǎn)的軌跡．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)；
②曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱；
③曲線C與y軸有3個(gè)交點(diǎn)；
④若點(diǎn)M在曲線C上，則|MF|的最小值為2(

2

-1)．
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：將所求點(diǎn)用（x，y）直接表示出來，然后根據(jù)條件列出方程即可求出軌跡方程，然后根據(jù)方程研究性質(zhì)即可，多個(gè)變量求最值時(shí)常常用消元法，然后利用函數(shù)的單調(diào)性求最值．

解答：解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），
∵曲線C是平面內(nèi)與定點(diǎn)F（2，0）和定直線x=-2的距離的積等于4的點(diǎn)的軌跡，
∴

(x-2)2+y2

•|x+2|=4，
∵當(dāng)x=0時(shí)，y=0，∴曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)，故①正確；
∵將

(x-2)2+y2

•|x+2|=4中的y用-y代入該等式不變，
∴曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱，故②正確；
令x=0時(shí)，y=0，故曲線C與y軸只有1個(gè)交點(diǎn)，故③不正確；
∵

(x-2)2+y2

•|x+2|=4，
∴y²=

16 (x+2)2 -(x-2)2

≥0，解得-2

2

≤x≤2

2

，
∴若點(diǎn)M在曲線C上，則|MF|=

(x-2)2+y2

=

4

|x+2|

≥

4

2+2 2

=2(

2

-1)，故④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了軌跡方程，以及曲線的性質(zhì)，對(duì)稱性以及最值，同時(shí)考查了求軌跡方程的常用方法，屬于難題．