Question

【題目】如圖，已知直四棱柱的底面是直角梯形，，，，分別是棱，上的動點，且，，．

（1）證明：無論點怎樣運動，四邊形都為矩形；

（2）當時，求幾何體的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

(1)要證明無論點怎樣運動,四邊形為矩形；我們可根據已知中直四棱柱的底面是直角梯形，分別是上的動點，且，先由線面平行的性質定理，判斷出四邊形為平行四邊形，再證明其鄰邊相互垂直，進而得到答案；（2）連接，我們易根據已知條件，結合直棱柱的幾何特征和勾股定理，判斷出到為四棱錐的高，根據及，我們計算出四棱錐面面積的和高，代入棱錐體積公式即可得到答案.

（1）在直四棱柱中，，

∵，∴，

又∵平面平面，平面平面，

平面平面，

∴，∴四邊形為平行四邊形，

∵側棱底面，又平面內，

∴，∴四邊形為矩形；

（2）證明：連結，∵四棱柱為直四棱柱，

∴側棱底面，又平面內，∴，

在中，，，則；

在中，，，則；

在直角梯形中，；

∴，即，

又∵，∴平面；

由（Ⅰ）可知，四邊形為矩形，且，，

∴矩形的面積為，

∴幾何體的體積為.