Question

如圖，在底面是正方形的四棱錐P—ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD=CD=2.

（I）求證：PD⊥BC；

（II）求二面角B—PD—C的正切值。

 

Answer 1

【答案】

見解析

【解析】解決立體幾何問題的，主要有兩個策略，一是不建立坐標系，直接利用空間向量基本定理，即將有關(guān)向量用空間一組基底表示出來，然后通過向量的有關(guān)運算求解；二是建立空間坐標系，通過向量的坐標運算解決問題

方法一：

（I）證明：∵平面PCD⊥平面ABCD，又∵平面PCD∩平面ABCD=CD，BC在平面ABCD內(nèi) ，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD.∴PD⊥BC.    …………6分

（II）解：取PD的中點E，連接CE、BE，

為正三角形，

由（I）知BC⊥平面PCD，∴CE是BE在平面PCD內(nèi)的射影，∴BE⊥PD.

∴∠CEB為二面角B—PD—C的平面角.       …………9分

在         …………12分

方法二：（I）證明：取CD的中點為O，連接PO，

∵PD=PC，∴PO⊥CD，∵平面PCD⊥平面ABCD，

平面PCD∩平面ABCD=CD，∴PO⊥平面ABCD，如圖，在平面ABCD內(nèi)，過O作OM⊥CD交AB于M，以O(shè)為原點，OM、OC、OP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系O—xyz，

由B（2，1，0），C（0，1，0），D（0，-1，0），     …………4分

…6分

（II）解：取PD的中點E，連接CE、BE，則為正三角形，為二面角B—PD—C的平面角.