Question

為深入貫徹素質(zhì)教育，增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，某中學(xué)從高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)中分別選了甲、乙、丙三支足球隊(duì)舉辦一場(chǎng)足球賽．足球賽具體規(guī)則為：甲、乙、丙三支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽（即每?jī)蓚�(gè)隊(duì)比賽一場(chǎng)）．共賽三場(chǎng)，每場(chǎng)比賽勝者積3分，負(fù)者積0分，沒(méi)有平局．在每一場(chǎng)比賽中，甲勝乙的概率為

1

3

，甲勝丙的概率為

1

4

，乙勝丙的概率為

1

3

．
（Ⅰ）求甲隊(duì)獲得第一名且丙隊(duì)獲得第二名的概率；
（Ⅱ）設(shè)在該次比賽中，甲隊(duì)積分為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等可能事件的概率，及離散型隨機(jī)變量及其分布列和數(shù)學(xué)期望．
（1）甲隊(duì)獲得第一名且丙隊(duì)獲得第二名，需要滿足甲勝乙，甲勝丙，丙勝乙，則P（A）=

1

3

×

1

4

×(1-

1

3

)，計(jì)算后即可得到甲隊(duì)獲得第一名且丙隊(duì)獲得第二名的概率；
（2）由題意可知ξ可能取值為0、3、6，分類(lèi)討論并計(jì)算：則甲兩場(chǎng)皆輸：P（ξ=0）=(1-

1

3

)(1-

1

4

)；甲兩場(chǎng)只勝一場(chǎng)：P（ξ=3）=

1

3

×(1-

1

4

)+(1-

1

3

)×

1

4

；甲兩場(chǎng)皆勝：P（ξ=6）=

1

3

×

1

4

，我們易得到ξ的分布列，進(jìn)而得到其數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)甲隊(duì)獲第一且丙隊(duì)獲第二為事件A，則P（A）=

1

3

×

1

4

×(1-

1

3

)=

1

18

（3分）
（Ⅱ）ξ可能取值為0、3、6，（4分）
則甲兩場(chǎng)皆輸：P（ξ=0）=(1-

1

3

)(1-

1

4

)=

1

2

（5分）
甲兩場(chǎng)只勝一場(chǎng)：P（ξ=3）=

1

3

×(1-

1

4

)+(1-

1

3

)×

1

4

=

5

12

（6分）
甲兩場(chǎng)皆勝：P（ξ=6）=

1

3

×

1

4

=

1

12

．（8分）
∴ξ的分布列為：
（10分）
Eξ=0×

1

2

+3×

5

12

+6×

1

12

=

7

4

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，要想計(jì)算一個(gè)事件的概率，首先我們要分析這個(gè)事件是分類(lèi)的（分幾類(lèi)）還是分步的（分幾步），然后再利用加法原理和乘法原理進(jìn)行求解．