Question

已知函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=cosx有相同的奇偶性，與函數(shù)y=tanx有相同的周期，在[

π

2

，π]上與函數(shù)y=sinx有相同的圖象，
①f（

4π

3

）=-

3

2

；
②函數(shù)y=f（x）的圖象的對稱軸為x=

kπ

2

，k∈Z；
③函數(shù)y=f（x）值域是[-1，1]；
④函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[kπ，kπ+

π

2

]，k∈Z．
則以上說法正確的序號是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由條件得到函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，周期為π，在[

π

2

，π]上與函數(shù)y=sinx有相同的圖象，由此可作出函數(shù)f（x）的圖象，由周期和圖象即可得到f（

4π

3

）=

3

2

，通過圖象可得到對稱軸和值域，以及單調(diào)增區(qū)間．

解答： 解：∵y=cosx為偶函數(shù)，∴y=f（x）為偶函數(shù)，
∵函數(shù)y=tanx的周期為π，∴y=f（x）的周期為π，
又在[

π

2

，π]上與函數(shù)y=sinx有相同的圖象，
即為半個(gè)周期的圖象，
則圖象可為：

對于①，f（

4π

3

）=f（π+

π

3

）=f（

π

3

）=sin

π

3

=

3

2

，故①錯(cuò)；
對于②，函數(shù)y=f（x）的圖象的對稱軸x=kπ或x=kπ+

π

2

，合并為x=

kπ

2

，k∈Z，故②對；
對于③，函數(shù)y=f（x）值域是[0，1]，故③錯(cuò)；
對于④，函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[kπ，kπ+

π

2

]，k∈Z，故④對．
故答案為：②④．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查函數(shù)的奇偶性、周期性和單調(diào)性、對稱性及運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合的能力，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．