Question

已知f（x）=ln（x+1）-ax．（a∈R）
（1）求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=1時，求f（x）在定義域上的最大值；
（3）求證：．

Answer 1

【答案】分析：解：（1）先確定定義域，再用導(dǎo)數(shù)法求單調(diào)區(qū)間；要注意a的討論，
（2）當(dāng)a=1時，f（x）=ln（x+1）-x，由（1）可知f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，從而求得其最大值．
（3）對兩邊取對數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為證明，由（x）=ln（x+1）-x≤0得證．
解答：解：（Ⅰ）定義域為{x|x＞-1}，（1分）
①當(dāng)a=0時，∵，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，+∞）（2分）
②當(dāng)a＜0時，
∵
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，+∞）（3分）
③當(dāng)a＞0時，由f′（x）＞0，則，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，
由f′（x）＜0，則，
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（4分）
（Ⅱ）當(dāng)a=1時，f（x）=ln（x+1）-x，
由（Ⅰ）可知f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
所以（5分）
由表可知f（x）的最大值為f（0）=0（6分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知f（x）=ln（x+1）-x≤0（*）
兩邊取對數(shù)可知
即證
又由（*）式可知當(dāng)x≠0時，ln（1+x）＜x（9分）
∴
∴
=（12分）
∴原不等式得證
點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)法求單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)最值，同時提醒學(xué)生在綜合題中已證結(jié)論可以用到下一問題去解決問題．