如圖，已知ABC-A1B1C1是正三棱柱，D是AC的中點(diǎn)，∠C1DC=60°．
（Ⅰ）求證：AB1∥平面BC1D；
（Ⅱ）求二面角D-BC1-C的大小．
精英家教網(wǎng)

精英家教網(wǎng)
（Ⅰ）以AC的中點(diǎn)D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=1．
∵∠C1DC=60°，∴CC1=
3

則A（1，0，0），B（0，
3
，0），C（-1，0，0），A1（1，0，
3
），
B1（0，
3
，
3
），C1（-1，0，
3
）
連結(jié)B1C交BC1于O，則O是B1C的中點(diǎn)，連結(jié)DO，則O(-
1
2
，
3
2
，
3
2
)
∴
AB1
=(-1，
3
，
3
)，
DO
=(-
1
2
，
3
2
，
3
2
)，
∴
AB1
=2
DO
．
∵AB1?平面BC1D，DO?平面BC1D，
∴AB1∥平面BC1D．…（5分）
（Ⅱ）
DC1
=(-1，0，
3
)，
C1B
=(1，
3
，-
3
)．
設(shè)平面BC1D的一個(gè)法向量為
n
=（x，y，z），則
n
•
DC1
=0
n
•
C1B
=0

即
-x+
3
z=0
x+
3
y-
3
z=0
，則有y=0
令z=1，則
n
=（
3
，0，1），設(shè)平面BCC1B1的一個(gè)法向量是為
m
=（x'，y'，z'），
CC1
=(0，0，
3
)，
C1B
=(1，
3
，-
3
)，則
m
•
CC1
=0
m
•
C1B
=0

即
3
z′=0
x′+
3
y′-
3
z′=0
，∴z′=0．
令y'=-1，則
m
=（
3
，-1，0）
∴cos＜
m
，
n
＞=
m
•
n
|
m
|•|
n
|
=
3
4

∴二面角D-BC1-C的大小為arccos
3
4
．…（12分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知△ABC的頂點(diǎn)為A（2，4），B（0，-2），C（-2，3），求：
（Ⅰ）AB邊所在直線的方程；
（Ⅱ）AB邊上的高線CH所在直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，求證：
（1）FD∥平面ABC；  
（2）AF⊥平面EDB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知兩點(diǎn)A（-
5
，0）、B（
5
，0），△ABC的內(nèi)切圓的圓心在直線x=2上移動(dòng)．
（Ⅰ）求點(diǎn)C的軌跡方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M（2，0）作兩條射線，分別交（Ⅰ）中所求軌跡于P、Q兩點(diǎn)，且
MP
•
MQ
=0，求證：直線PQ必過(guò)定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：


如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，且AD=1，BD=2，△ACD繞CD旋轉(zhuǎn)至
A′CD，使點(diǎn)A'與點(diǎn)B之間的距離A′B=
3
．
（1）求證：BA′⊥平面A′CD；
（2）求二面角A′-CD-B的大小；
（3）求異面直線A′C與BD所成的角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知△ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，DC⊥平面ABC，AB=2，tan∠EAB=
3
2
．
（1）證明：平面ACD⊥平面ADE；
（2）記AC=x，V（x）表示三棱錐A-CBE的體積，求V（x）的表達(dá)式；
（3）當(dāng)V（x）取得最大值時(shí)，求證：AD=CE．

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