Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義域在（0，+∞），且對(duì)任意m，n∈（0，+∞）都有f（mn）=f（m）+f（n），f（4）=1，當(dāng)x＞1時(shí)，恒有f（x）＞0
（1）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
（2）解不等式f（x+6）+f（x）＜2
（3）若?x∈[4，16]，都有f（x）≤a，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

Answer 1

分析：（1）設(shè)0＜a＜b，由b=

b

a

•a及f（mn）=f（m）+f（n），證明f（a）＜f（b），得到f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（2）先求出f（16）的值，利用f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)得出x（x+6）＜16，進(jìn)而求出不等式的解．
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的值域，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)0＜a＜b，則b-a＞0，

b

a

＞1，
∵任意m，n∈（0，+∞）都有f（mn）=f（m）+f（n），
∴f（b）=f（

b

a

•a）=f（

b

a

）+f（a），
∵當(dāng)x＞1時(shí)，恒有f（x）＞0，∴f（b）-f（a）=f（

b

a

）＞0，
∴f（a）＜f（b），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（2）∵f（4）=1，
∴f（16）=f（4×4）=f（4）+f（4）=2，
不等式即不等式即：f（x（x+6））＜f（16），
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
∴x（x+6）＜16，∴x＜-8 或x＞2，
f（x）定義域是（0，+∞），
∴x＞2，
∴不等式的解集是{ x|x＞2}．
（3）由（2）的結(jié)果知，
x∈[4，16]時(shí)，f（x）≤f（16）=2，∴a≥2．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是 a≥2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的單調(diào)性、值域、恒成立問題、解不等式，體現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．