分析 (1)由定義直接判斷.
(2)由已知得anan與anan中至少有一個(gè)屬于A,從而得到a1=1;再由1=a1<a2<…<an,得到akan∉A(k=2,3,…,n).由A具有性質(zhì)P可知anak∈A(k=1,2,3,…,n),由此能證明a1=1,且a1+a2+…+ana−11+a−12+…+a−1n=an.
(3)當(dāng)n=5時(shí),a5=a2a4=a32,從而a3a4∈A,a4a3∈A,由此能證明a5a4=a4a3=a3a2=a2a1.
解答 解:(1)由于3×4與43均不屬于數(shù)集{1,3,4},
所以數(shù)集{1,3,4}不具有性質(zhì)P.
由于1×2,1×3,1×6,2×3,62,63,11,22,33,66都屬于數(shù)集{1,2,3,6},
所以數(shù)集{1,2,3,6}具有性質(zhì)P.
證明:(2)因?yàn)锳={a1,a2,…,an}具有性質(zhì)P,
所以anan與anan中至少有一個(gè)屬于A.
由于1≤a1<a2<…<an,所以anan>an,故anan∉A,
從而1=anan∈A,故a1=1;
因?yàn)?=a1<a2<…<an,所以akan>an,故akan∉A(k=2,3,…,n).
由A具有性質(zhì)P可知anak∈A(k=1,2,3,…,n),
又因?yàn)?\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}<\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}<…<\frac{{a}_{n}}{{a}_{2}}$$<\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$,
所以$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}$=a1,anan−1=a2,…,ana2=an−1,ana1=an,
從而anan+anan−1+…+ana2+ana1=a1+a2+…+an-1+an,
故a1=1,且a1+a2+…+ana−11+a−12+…+a−1n=an.
證明:(3)由(2)知,當(dāng)n=5時(shí),有a5a4=a2,a5a3=a3,即a5=a2a4=a32,
因?yàn)?=a1<a2<…<a5,
所以a3a4>a2a4=a5,故a3a4∈A,
由A具有性質(zhì)P,可知a4a3∈A,
由a2a4=a32,得a3a2=a4a3∈A,且1<a3a2<a3,
所以a4a3=a3a2=a2,
故a5a4=a4a3=a3a2=a2a1=a2,
所以:a5a4=a4a3=a3a2=a2a1.
點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)集是否具有性質(zhì)P的判斷,考查等式的證明,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意性質(zhì)P的合理運(yùn)用.
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A. | y=-2x | B. | y=2x | C. | y=lgx | D. | y=x3 |
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A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
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A. | “p且q”為真 | B. | “p或q”為假 | C. | p假q真 | D. | p真q假 |
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