Processing math: 100%
13.已知數(shù)集A={a1,a2,…,an}(1≤a1<a2<…<an,n≥2)具有性質(zhì)P:對(duì)任意的i,j(1≤i≤j≤n)aiajaiaj兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A.
(1)分別判斷數(shù)集{1,3,4}與{1,2,3,6}是否具有性質(zhì) P,并說(shuō)明理由;
(2)證明:a1=1,且a1+a2++ana11+a12++a1n=an;
(3)當(dāng)n=5時(shí),證明:a5a4=a4a3=a3a2=a2a1

分析 (1)由定義直接判斷.
(2)由已知得anananan中至少有一個(gè)屬于A,從而得到a1=1;再由1=a1<a2<…<an,得到akan∉A(k=2,3,…,n).由A具有性質(zhì)P可知anak∈A(k=1,2,3,…,n),由此能證明a1=1,且a1+a2++ana11+a12++a1n=an
(3)當(dāng)n=5時(shí),a5=a2a4=a32,從而a3a4∈A,a4a3∈A,由此能證明a5a4=a4a3=a3a2=a2a1

解答 解:(1)由于3×4與43均不屬于數(shù)集{1,3,4},
所以數(shù)集{1,3,4}不具有性質(zhì)P.
由于1×2,1×3,1×6,2×3,6263,1122,33,66都屬于數(shù)集{1,2,3,6},
所以數(shù)集{1,2,3,6}具有性質(zhì)P.
證明:(2)因?yàn)锳={a1,a2,…,an}具有性質(zhì)P,
所以anananan中至少有一個(gè)屬于A.
由于1≤a1<a2<…<an,所以anan>an,故anan∉A,
從而1=anan∈A,故a1=1;
因?yàn)?=a1<a2<…<an,所以akan>an,故akan∉A(k=2,3,…,n).
由A具有性質(zhì)P可知anak∈A(k=1,2,3,…,n),
又因?yàn)?\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}\frac{{a}_{n}}{{a}_{2}}$$<\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$,
所以$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}$=a1,anan1=a2,…,ana2=an1,ana1=an
從而anan+anan1++ana2+ana1=a1+a2+…+an-1+an,
故a1=1,且a1+a2++ana11+a12++a1n=an
證明:(3)由(2)知,當(dāng)n=5時(shí),有a5a4=a2a5a3=a3,即a5=a2a4=a32,
因?yàn)?=a1<a2<…<a5,
所以a3a4>a2a4=a5,故a3a4∈A,
由A具有性質(zhì)P,可知a4a3∈A,
a2a4=a32,得a3a2=a4a3∈A,且1<a3a2<a3,
所以a4a3=a3a2=a2
a5a4=a4a3=a3a2=a2a1=a2,
所以:a5a4=a4a3=a3a2=a2a1

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)集是否具有性質(zhì)P的判斷,考查等式的證明,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意性質(zhì)P的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

3.已知函數(shù)fx=Asinωx+φA0ω0|φ|π2的圖象過(guò)點(diǎn)Pπ120,圖象上與點(diǎn)P最近的一個(gè)頂點(diǎn)是Qπ35
(1)求函數(shù)f(x)的解析式及其對(duì)稱中心;    
(2)作出函數(shù)在[0,π]上的圖象.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

4.已知命題p:不等式|x-1|>m-1的解集為R,命題q:f(x)=-(5-2m)x在R上是減函數(shù).若p∨q為真命題,p∧q為假命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

1.經(jīng)過(guò)兩直線l1:2x-3y+2=0與l2:3x-4y-2=0的交點(diǎn),且平行于直線4x-2y+7=0的直線方程為:2x-y-18=0.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

8.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù),又是增函數(shù)的是(  )
A.y=-2xB.y=2xC.y=lgxD.y=x3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

18.下列命題中:
①若ab是共線向量,bc是共線向量,則ac是共線向量;
②銳角△ABC中,恒有sinA>cosB;
③若向量a=(6,2)與=(-3,k)的夾角是鈍角,則k的取值范圍是k<9;
④函數(shù)f(x)=cos(2x-\frac{π}{3}})+cos(2x+\frac{π}{6}})的最大值為2
其中正確的序號(hào)是②④.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

5.下列命題正確的個(gè)數(shù)為
?“?x∈R都有x2≥0”的否定是“?x0∈R使得x02≤0”;
?“x≠3”是“x≠3”成立的充分條件;
?命題“若m≤12,則方程mx2+2x+2=0有實(shí)數(shù)根”的否命題(  )
A.0B.1C.2D.3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

2.已知命題p:“已知f(x)為定義在R上的偶函數(shù),則f(x+1)的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱”,命題q:“若-1≤a≤1,則方程ax2+2x+a=0有實(shí)數(shù)解”,則( �。�
A.“p且q”為真B.“p或q”為假C.p假q真D.p真q假

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

3.下列圖形中,是中心對(duì)稱圖形的是( �。�
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案