Question

【題目】【2017衡陽第二次聯考】已知函數.

（1）求函數的單調區(qū)間；

（2）如果對于任意的， 恒成立，求實數的取值范圍；

（3）設函數， ，過點作函數的圖象的所有切線，令各切點的橫坐標按從小到大構成數列，求數列的所有項之和的值.

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間為；減區(qū)間為.（2）（3）

【解析】試題分析：（1）求單調區(qū)間則根據導數解不等式即可（2）令 要使恒成立，只需當時， 分析函數單調性求出最小值解不等式即可（2） 設切點坐標為，則切線斜率為從而切線方程為 代入M，令， ，這兩個函數的圖象均關于點對稱，則它們交點的橫坐標也關于對稱，從而所作的所有切線的切點的橫坐標構成數列的項也關于成對出現根據此規(guī)律即可分析得解

試題解析：

⑴

的增區(qū)間為；減區(qū)間為.

⑵令

要使恒成立，只需當時，

令，則對恒成立

在上是增函數，則

①當時， 恒成立， 在上為增函數

， 滿足題意；

②當時， 在上有實根, 在上是增函數

則當時， ， 不符合題意；

③當時， 恒成立， 在上為減函數，

不符合題意

，即.

⑶

設切點坐標為，則切線斜率為

從而切線方程為

令， ，這兩個函數的圖象均關于點對稱，則它們交點的橫坐標也關于對稱，從而所作的所有切線的切點的橫坐標構成數列的項也關于成對出現，又在共有1008對，每對和為.

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