Question

在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中，數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n滿(mǎn)足Sn=

1

2

(an+

1

an

)．
（1）求a₁，a₂，a₃的值，并根據(jù)規(guī)律猜想出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）請(qǐng)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式,歸納推理

專(zhuān)題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由題意Sn=

1

2

(an+

1

an

)，代入計(jì)算，可求a₁，a₂，a₃的值，并根據(jù)規(guī)律猜想出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．

解答： 解：（1）∵Sn=

1

2

(an+

1

an

)，
∴令n=1得，a₁=1；令n=2得a₂=

2

-1；令n=3得a₃=

3

-

2

；
猜想a_n=

n

-

n-1

；
（2）①n=1時(shí)，結(jié)論成立；
②假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即a_k=

k

-

k-1

，
則a_k+1=S_k+1-S_k=

1

2

(ak+1+

1

ak+1

)-

1

2

(ak+

1

ak

)，化簡(jiǎn)可得a_k+1=

k+1

-

k

，
即n=k+1時(shí)，結(jié)論成立．
由①②可得a_n=

n

-

n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推公式，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立．證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，是解題的難點(diǎn)．