Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2tx+2，其中t∈R．
（1）若t=1，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，4]上的取值范圍；
（2）若t=1，且對(duì)任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）若對(duì)任意的x₁，x₂∈[0，4]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤8，求t的取值范圍．

Answer 1

因?yàn)閒（x）=x²-2tx+2=（x-t）²+2-t²，
所以f（x）在區(qū)間（-∞，t]上單調(diào)減，在區(qū)間[t，∞）上單調(diào)增，且對(duì)任意的x∈R，都有f（t+x）=f（t-x），
（1）若t=1，則f（x）=（x-1）²+1．
①當(dāng)x∈[0，1]時(shí)．f（x）單調(diào)減，從而最大值f（0）=2，最小值f（1）=1．
所以f（x）的取值范圍為[1，2]；
②當(dāng)x∈[1，4]時(shí)．f（x）單調(diào)增，從而最大值f（4）=10，最小值f（1）=1．
所以f（x）的取值范圍為[1，10]；
所以f（x）在區(qū)間[0，4]上的取值范圍為[1，10]．                     …（3分）
（2）“對(duì)任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5”等價(jià)于“在區(qū)間[a，a+2]上，[f（x）]_max≤5”．
①若t=1，則f（x）=（x-1）²+1，
所以f（x）在區(qū)間（-∞，1]上單調(diào)減，在區(qū)間[1，∞）上單調(diào)增．
②當(dāng)1≤a+1，即a≥0時(shí)，
由[f（x）]_max=f（a+2）=（a+1）²+1≤5，得-3≤a≤1，
從而 0≤a≤1．
③當(dāng)1＞a+1，即a＜0時(shí)，由[f（x）]_max=f（a）=（a-1）²+1≤5，得-1≤a≤3，
從而-1≤a＜0．
綜上，a的取值范圍為區(qū)間[-1，1]．                             …（6分）
（3）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值為M，最小值為m，
所以“對(duì)任意的x₁，x₂∈[0，4]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤8”等價(jià)于“M-m≤8”．
①當(dāng)t≤0時(shí)，M=f（4）=18-8t，m=f（0）=2．
由M-m=18-8t-2=16-8t≤8，得t≥1．
從而 t∈∅．
②當(dāng)0＜t≤2時(shí)，M=f（4）=18-8t，m=f（t）=2-t²．
由M-m=18-8t-（2-t²）=t²-8t+16=（t-4）²≤8，得
4-2

2

≤t≤4+2

2

．
從而  4-2

2

≤t≤2．
③當(dāng)2＜t≤4時(shí)，M=f（0）=2，m=f（t）=2-t²．
由M-m=2-（2-t²）=t²≤8，得-2

2

≤t≤2

2

．
從而 2＜t≤2

2

．
④當(dāng)t＞4時(shí)，M=f（0）=2，m=f（4）=18-8t．
由M-m=2-（18-8t）=8t-16≤8，得t≤3．
從而 t∈∅．
綜上，t的取值范圍為區(qū)間[4-2

2

，2

2

]．                      …（10分）