Question

已知函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，且在[0，+∞）上是減函數(shù)，f（a）=0（a＞0），則不等式xf（x）＜0的解集是

（-a，0）∪（a，+∞）

．

Answer 1

分析：將原不等式轉(zhuǎn)化為

x＞0 f(x)＜0

或

x＜0 f(x)＞0

，然后分類討論：不難根據(jù)題意得出在[0，+∞）上原不等式的解集，再根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)且在[0，+∞）上是減函數(shù)，利用對(duì)稱點(diǎn)的方法得到（-∞，0）上原不等式的解集，最后取兩部分的并集得到解集．

解答：解：等式xf（x）＜0等價(jià)于

x＞0 f(x)＜0

或

x＜0 f(x)＞0

①當(dāng)x＞0時(shí)，因?yàn)樵赱0，+∞）上是減函數(shù)且f（a）=0
所以當(dāng)x＞a時(shí)，f（x）＜f（a）=0
∴x＞a符合不等式
②當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0是一個(gè)正的自變量
由①知，當(dāng)-x＞a時(shí)，f（-x）＜f（a）=0⇒x＜-a
∴-a＜x＜0符合不等式
綜上所述，不等式xf（x）＜0的解集是（-a，0）∪（a，+∞）
故答案為：（-a，0）∪（a，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合、不等式的簡(jiǎn)單性質(zhì)和解不等式等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．本題考查了用函數(shù)性質(zhì)解題，而用函數(shù)性質(zhì)解題是近幾年來(lái)常見(jiàn)的考點(diǎn)，值得同學(xué)們注意．