Question

如圖，傾斜角為a的直線經過拋物線y²=8x的焦點F，且于拋物線交于A、B兩點．
（Ⅰ）求拋物線的焦點F的坐標及準線l的方程
（Ⅱ）若a為銳角，作線段AB的垂線平分m交x軸于點P，證明|FP|-|FP|cos2a為定值，并求此定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據拋物線的方程可求得拋物線標準方程中的p，則焦點坐標和準線方程可得．
（Ⅱ）設出A，B的坐標，和M的坐標，把A，B代入拋物線方程兩式相減求得直線AB的斜率，求得y_otana=4．同時根據AB，MP共線根據斜率相等求得得y_otana=4，進而可推斷出AB中垂線方程的斜率，表示出其直線方程，令y=0表示出P的橫坐標，進而可表示出|FP|，然后利用余弦的二倍角公式化簡整理，把tana=

4

y0

，y_o²=4x_o-8代入整理求得結果為8，為定值，進而原式得證．

解答：解：（Ⅰ）拋物線方程中p=4，
∴焦點坐標為（2，0），準線方程為x=-2
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點E（x_o，y_o），焦點F（2，0）．
則有x₁+x₂=2x_o，y₁+y₂=2y_o，又A，B在曲線上有y₁²=8x₁，y₂²=8x₂，
兩式相減得AB斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

8

y1+y2

=

4

y0

=tana，得y_otana=4．
又AB，EP垂直，易得AB中垂線方程y=-

1

tanα

（x-x_o）+y_o，令y=0，
得P點橫坐標x_P=x_o+y_otana=x_o+4．
于是得|FP|=x_P-x_F=x_o+2．
由于1-cos2a=1-（cos²a-sin²a）=1-

cos2a-sin2a

cos2a+sin2a

=1-（1-

tan2a

1+tan2a

），
再將tana=

4

y0

，y_o²=4x_o-8代入整理得1-cos2a=

8

x0+2

，
從而有|PF|-|PF|cos2a=|PF|（1-cos2a）=（xo+2）

8

x0+2

=8．
原式得證．

點評：本題主要考查了拋物線的應用，平面解析式的基礎知識．考查了考生的基礎知識的綜合運用和知識遷移的能力．