Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}，且滿足a_n+1-a_n=b_n（n=1，2，3，…）．
（1）若a₁=0，b_n=2n，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n+1+b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2．記c_n=a_6n-1（n≥1），求證：數(shù)列{c_n}為常數(shù)列；
（3）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且a₁=1，b₁=1，b₂=2．求數(shù)列{a_n}的前36項和S₃₆．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用“累加求和”和等差數(shù)列的前n項和公式即可求出；
（2）通過已知條件先探究數(shù)列{b_n}是一個以6為周期的循環(huán)數(shù)列，進(jìn)而即可證明數(shù)列{c_n}為常數(shù)列．
（3）由條件探索出：數(shù)列{a_6n+i}均為以7為公差的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的前36項和S₃₆．

解答： 解：（1）當(dāng)n≥2時，有
a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1
=2×1+2×2+…+2×（n-1）
=2×

(n-1)n

2

=n²-n，又當(dāng)n=1時此式也成立．
∴數(shù)列{a_n}的通項為a_n=n²-n．
（2）∵b_n+1+b_n-1=b_n（n≥2），
∴對任意的n∈N^*有b_n+6=b_n+5-b_n+4=-b_n+3=b_n+1-b_n+2=b_n，
∴數(shù)列{b_n}是一個以6為周期的循環(huán)數(shù)列
又∵b₁=1，b₂=2，
∴b₃=b₂-b₁=1，b₄=b₃-b₂=-1，b₅=b₄-b₃=-2，b₆=b₅-b₄=-1．
∴c_n+1-c_n=a_6n+5-a_6n-1=a_6n+5-a_6n+4+a_6n+4-a_6n+3+…+a_6n-a_6n-1
=b_6n+4+b_6n+3+b_6n+2+b_6n+1+b_6n+b_6n-1=b₄+b₃+b₂+b₁+b₆+b₅
=-1+1+2+1-1+-2=0（n≥1），
所以數(shù)列{c_n}為常數(shù)列．
（3）∵b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2，
∴b₃=2，b₄=1，b₅=

1

2

，b₆=

1

2

，
且對任意的n∈N^*，有b_n+6=

bn+5

bn+4

=

1

bn+3

=

bn+1

bn+2

=b_n，
設(shè)c_n=a_6n+i（n≥0），（其中i為常數(shù)且i∈{1，2，3，4，5，6}，
∴c_n+1-c_n=a_6n+6+i-a_6n+i=b_6n+i+b_6n+i+1+b_6n+i+2+b_6n+i+3+b_6n+i+4+b_6n+i+5
=b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+b₆
=1+2+2+1+

1

2

+

1

2

=7（n≥0）．
所以數(shù)列{a_6n+i}均為以7為公差的等差數(shù)列．
∵a₁=1，a₂=2，a₃=4，a₄=6，a₅=7，a₆=

15

2

，
∴數(shù)列{a_n}的前36項和
S₃₆=6（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆）+6（7+14+21+28+35）
=165+630=795．

點(diǎn)評：熟練掌握等差數(shù)列的前n項和公式、“累加求和”、探究數(shù)列{b_n}是一個以6為周期的循環(huán)數(shù)列，本題較好的考查了學(xué)生的探究能力和計算能力，本題有一點(diǎn)的難度．