Question

已知圓C：（x-4）²+（y-m）²=16（m∈N*），直線4x-3y-16=0過橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點，且交圓C所得的弦長為

32

5

，點A（3，1）在橢圓E上．
（Ⅰ）求m的值及橢圓E的方程；
（Ⅱ）設Q為橢圓E上的一個動點，求

AC

•

AQ

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)直線交圓的弦長的值，進而求得圓心C（4，m）到直線，根據(jù)點到直線的距離求得m，進而求得橢圓E的焦點，進而根據(jù)橢圓的定義求得a，進而根據(jù)a和c求得b，則橢圓方程可得．
（Ⅱ）設Q的坐標，表示出

AQ

，進而設x+3y=n與橢圓方程聯(lián)立，消去y根據(jù)判別式求得n的范圍．

解答：解：（Ⅰ）因為直線4x-3y-16=0交圓C所得的弦長為

32

5

，
所以圓心C（4，m）到直線4x-3y-16=0的距離等于

42-( 16 5 )2

=

12

5

，
即

|4×4-3×m-16|

5

=

12

5

∴m=4，或m=-4（舍去）
又因為直線4x-3y-16=0過橢圓E的右焦點，所以右焦點坐標為F₂（4，0）．
則左焦點F₁的坐標為（-4，0），因為橢圓E過A點，
所以|AF₁|+|AF₂|=2a
所以2a=5

2

+

2

=6

2

，a=3

2

，a2=18，b2=2
故橢圓E的方程為：

x2

18

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）：

AC

=(1，3)，設Q(x，y)
則

AQ

=(x-3，y-1)
設x+3y=n，則由

x2 18 + y2 2 =1 x+3y=n

消x得18y²-6ny+n²-18=0
由于直線x+3y=n與橢圓E有公共點，
所以△=（6n）²-4×18×（n²-18）≥0，
所以-6≤n≤6，故

AC

•

AQ

=x+3y-6的取值范圍為[-12，0]．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．此類題常涉及解析幾何的所有知識和函數(shù)、不等式等很多代數(shù)知識，
當然還會用到平面幾何知識．故要求學生對基本知識應熟練掌握．