Question

（2013•德州一模）已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形∠BCD=60°，AB=PB=PD=2，PC=

3

，AC與BD交于O點(diǎn)，H為OC的中點(diǎn)．
（1）求證PH⊥平面ABCD；
（2）求側(cè)面PAB與底面ABCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由題意，可先證PH與平面ABCD中的兩條相交直線(xiàn)垂直，再由定理得出線(xiàn)面垂直；
（2）由題設(shè)，可建立以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OZ所在直線(xiàn)為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，運(yùn)用空間向量的夾角公式求出兩個(gè)平面的夾角余弦值．

解答：解：（1）證明：連接OP，因?yàn)镻B=PD，
所以O(shè)P⊥BD．
在菱形ABCD中，BD⊥AC，
又因?yàn)镺P∩AC=O，所以BD⊥平面PAC．
又PH?平面PAC，所以BD⊥PH．
在直角三角形POB中，OB=1，PB=2，所以O(shè)P=

3

，又PC=

3

，H為OC的中點(diǎn)，所以PH⊥OC
又因?yàn)锽D∩OC=O，以PH⊥平面ABCD．
（2）解：過(guò)點(diǎn)O作OZ∥PH，所以O(shè)Z⊥平面ABCD
如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OZ所在直線(xiàn)為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系，可得A（

3

，0，0），B（0，1，0），C（-

3

，0，0），P（-

3

2

，0，

3

2

）
所以

AB

=（-

3

，1，0），

AP

=（-

3 3

2

，0，

3

2

）
設(shè)

n

=（x，y，z）是平面PAB的法向量，則

n • AB =0  n • AP =0

，即

- 3 x+y=0 - 3 3 2 x+ 3 2 z=0

令x=1，則平面PAB的一個(gè)法向量為

n

=（1，

3

，

3

）
由（1）知，PH⊥平面ABCD，所以平面ABCD的法向量是

m

=（0，0，1）
所以cos＜

m

，

n

＞=

3

7

=

21

7

所以側(cè)面PAB與底面ABCD所成的二面角的余弦值為

21

7

點(diǎn)評(píng)：本題考查線(xiàn)面垂直的證明與二面角的求法，熟練掌握線(xiàn)面垂直的定理及用空間向量求二面角的原理是解答的關(guān)鍵，利用空間向量研究二面角是高考考查的重點(diǎn)，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意梳理此方法求二面角的過(guò)程，明了其解答原理