Question

如圖，A為橢圓=1（a＞b＞0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦AB、AC分別過(guò)焦點(diǎn)F₁、F₂，當(dāng)AC垂直于x軸時(shí)，恰好有AF₁：AF₂=3：1．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)=λ₁，=λ₂．
①當(dāng)A點(diǎn)恰為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，求λ₁+λ₂的值；
②當(dāng)A點(diǎn)為該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，試判斷是λ₁+λ₂否為定值？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)|AF₁|=m，則|AF₂|=3m根據(jù)題設(shè)及橢圓定義得方程組聯(lián)立消去m求得a²=2c²，離心率可得．
（2）設(shè)A（x，y），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），分別表示出和，根據(jù)=λ₁求得x₁和y₁的表達(dá)式代入x₁²+2y₁²=2c²中再與x²+2y²=2c²相減求得2x=cλ₁-3c同理根據(jù)=λ₂求得2x=-cλ₂+3c兩式相見(jiàn)即可求得λ₁+λ₂=6．說(shuō)明λ₁+λ₂為定值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)|AF₁|=m，則|AF₂|=3m．
由題設(shè)及橢圓定義得，
消去m得a²=2c²，所以離心率．
（Ⅱ）設(shè)A（x，y），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
則=（-C-x，-y），=（x₁+C，y₁）
∵=λ₁，∴x₁=--c，y₁=-
又x²+2y²=2c²①，x₁²+2y₁²=2c²②，
將x₁，y₁代入②得：
（+c）²+2（）²=2c²即（c+x+cλ₁）²=2y²=2λ₁c²③；
③-①得：2x=cλ₁-3c；
同理：由=λ₂．得2x=-cλ₂+3c；
∴cλ₁-3c=-cλ₂+3c，
∴λ₁+λ₂=6．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．涉及了橢圓的基本性質(zhì)和利用向量的運(yùn)算解決橢圓與直線的關(guān)系的問(wèn)題，要求學(xué)生具有對(duì)知識(shí)的綜合、整合的能力．