Question

已知a，b為非零常數(shù)，函數(shù)f（x）=-x²+ax+blnx．
（Ⅰ）若函數(shù)在點（1，f（1））處的切線方程為4x-y-3=0，求a，b的值；
（Ⅱ）已知b＞0，求證：函數(shù)圖象上任意兩點處的切線不可能平行；
（Ⅲ）若函數(shù)y=f（x）的兩個極值點為x₁，x₂，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），求a²-a+b²+b+1的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,簡單線性規(guī)劃

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導數(shù)，利用函數(shù)在點（1，f（1））處的切線方程為4x-y-3=0，可得

f(1)=-1+a=1 f′(1)=-2+b+a=4

，即可求a，b的值；
（Ⅱ）b＞0時，函數(shù)f′(x)=-2x+a+

b

x

在定義域（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，函數(shù)圖象上任意兩點處的切線不可能平行；
（Ⅲ）方程-2x²+ax+b=0的兩根x₁，x₂，滿足x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），利用線性規(guī)劃知識，即可求a²-a+b²+b+1的取值范圍．

解答： （Ⅰ）解：∵函數(shù)在點（1，f（1））處的切線方程為4x-y-3=0，
∴f'（1）=4且4×1-f（1）-3=0，則f（1）=1；                        …（2分）
而f′(x)=-2x+

b

x

+a，故

f(1)=-1+a=1 f′(1)=-2+b+a=4

，

a=2 b=4

；           …（4分）
（Ⅱ）證明：f′(x)=-2x+a+

b

x

，
當b＞0時，函數(shù)f′(x)=-2x+a+

b

x

在定義域（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，
故函數(shù)f'（x）在定義域內(nèi)的任意兩點的函數(shù)值不可能相等，即函數(shù)圖象上任意兩點處的切線不可能平行．…（7分）
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）f′(x)=-2x+

b

x

+a=

-2x2+ax+b

x

，
∵函數(shù)y=f（x）的兩個極值點x₁，x₂，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2）
∴方程-2x²+ax+b=0的兩根x₁，x₂，滿足x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），
記g（x）=-2x²+ax+b，
則

g(0)=b＜0 g(1)=a+b-2＞0 g(2)=2a+b-8＜0

…（8分）
作可行域如圖所示，過點P(

1

2

，-

1

2

)作直線a-b-2=0的垂線，垂足在可行域外，從而連結(jié)PA、PC可得到最小值、最大值，而|PA|²=2²-2+1=3、|PC|²=6²-6+（-4）²+（-4）+1=43，但邊界不包括A，C，故a²-a+b²+b+1∈（3，43）…（12分）

點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，考查簡單線性規(guī)劃，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強．