Question

已知函數(shù)f（x）=x（x-a）（x-b），點A（m，f（m）），B（n，f（n））．
（1）設(shè)b=a，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足：當(dāng)|x|≤l時，有|f′（x）|≤

3

2

恒成立，求函數(shù)f（x）的表達式；
（3）若0＜a＜b，函數(shù)f（x）在x=m和x=n處取得極值，且a+b≤2

3

．問：是否存在常數(shù)a、b，使得

OA

•

OB

=0？若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知可得f'（x）=3x²-4ax+a²=0得：x₁=

a

3

，x₂=a，要比較a與，

a

3

的大小，故需分a＞0，a＜0 時，a=0 三種情況討論，進行求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
（2）由于f'（x）=3x²-2（a+b）x+ab，當(dāng)x∈[-1，1]時，恒有|f'（x）|≤

3

2

可得-

3

2

≤f′(1)≤

3

2

，-

3

2

≤f′(-1)≤

3

2

，-

3

2

≤f′(0)≤

3

2

，代入可求a，b的關(guān)系及函數(shù)的解析式
（3）假設(shè)存在a，b，使得

OA

•

OB

=  0，則可得m•n+f（m）•f（n）=0，由題設(shè)，m，n是f'（x）=0的兩根，代入可得ab（a-b）²=9，結(jié)合基本不等式可求

解答：解：（1）f（x）=x³-2ax²+a²x 令f'（x）=3x²-4ax+a²=0，
得：x₁=

a

3

，x₂=a．（2分）
1° 當(dāng)a＞0 時，x₁＜x₂
∴所求單調(diào)增區(qū)間是(-∞，

a

3

)，（a，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（

a

3

，a ）
2° 當(dāng)a＜0 時，所求單調(diào)增區(qū)間是（-∞，a），(

a

3

，+∞)，單調(diào)減區(qū)間是（a，

a

3

）
3° 當(dāng)a=0 時，f'（x）=3x²≥0 所求單調(diào)增區(qū)間是（-∞，+∞）．（5分）
（2）f（x）=x³-（a+b）x²+abx∴f'（x）=3x²-2（a+b）x+ab，
∵當(dāng)x∈[-1，1]時，恒有|f'（x）|≤

3

2

∴-

3

2

≤f′(1)≤

3

2

，-

3

2

≤f′(-1)≤

3

2

，-

3

2

≤f′(0)≤

3

2

，（8分）即

- 3 2 ≤3-2(a+b)+ab≤ 3 2 - 3 2 ≤3+2(a+b)+ab≤ 3 2 - 3 2 ≤ab≤ 3 2

得

ab=- 3 2 a+b=0

此時，滿足當(dāng)x∈[-1，1]時|f′(x)|≤

3

2

恒成立．
∴f(x)=x3-

3

2

x．（10分）
（3）存在a，b，使得

OA

•

OB

=  0，則m•n+f（m）•f（n）=0
∴mn+mn（m-a）（m-b）（n-a）（n-b）=0由于0＜a＜b，知mn≠0
∴（m-a）（m-b）（n-a）（n-b）=-1＜BR＞①由題設(shè)，m，n是f'（x）=0的兩根
∴m+n=

2(a+b)

3

，mn=

ab

3

②（12分）②代入①得：ab（a-b）²=9
∴(a+b)2=(a-b)2+4ab=

9

ab

+4ab≥2

36

=12，當(dāng)且僅當(dāng)ab=

3

2

時取“=”
∴a+b≥2

3

∵a+b≤2

3

∴a+b=2

3

又∵ab=

3

2

，0＜a＜b∴a=

2 3 - 6

2

，b=

2 3 + 6

2

．（16分）

點評：本題以結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知識：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值，考查了函數(shù)的恒成立問題的轉(zhuǎn)化，屬于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用．