Question

16．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定義在R上的奇函數(shù)，且x=-1時，函數(shù)取極值1．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）已知函數(shù)y=f（x）在[m，2m]（m＞0）上的最小值為-$\frac{11}{4}$m，求m的值；
（Ⅲ）求證：曲線y=f（x）上不存在兩個不同的點A，B，使過A，B兩點的切線都垂直于直線AB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲求f（x）的解析式，只需找到關于a，b，c的三個等式，求出a，b，c的值，根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得到一個含等式，根據(jù)x=-1時，取得極值1，可知函數(shù)在x=-1時，導數(shù)等于0，且x=-1時，函數(shù)值等于1，又可得到兩個含a，b，c的等式，三個等式聯(lián)立，解出a，b，c即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論m的范圍，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值，求出m的值即可；
（Ⅲ）先假設存在兩個不同的點A、B，使過A、B的切線都垂直于AB，則切線斜率與AB斜率互為負倒數(shù)，又因為函數(shù)在A，B點處的切線斜率時函數(shù)在該點處的導數(shù)，就可得到含A，B點的坐標的方程，解方程，若方程有解，則假設成立，若方程無解，則假設不成立．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定義R上的奇函數(shù)
∴b=0，
∴f（x）=ax³+cx，∴f′（x）=3ax²+c
依題意有f′（-1）=0且f（-1）=1
即 $\left\{\begin{array}{l}{3a+c=0}\\{-a-c=1}\end{array}\right.$，解得，a=$\frac{1}{2}$，c=-$\frac{3}{2}$；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{3}{2}$（x-1）（x+1），
（1）2m≤1時，即0＜m≤$\frac{1}{2}$時，f′（x）＜0，
f（x）在[m，2m]遞減，
∴f（x）_min=f（2m）=4m²-3m=-$\frac{11}{4}$m，解得：m=$\frac{1}{4}$；
（2）$\frac{1}{2}$＜m≤1時，x∈（m，1），f′（x）＜0，x∈（1，2m），f′（x）＞0，
∴f（x）_min=f（1）=-1=-$\frac{11}{4}$m，解得：m=$\frac{4}{11}$；
（3）m＞1時，f′（x）＞0，f（x）在[m，2m]遞增，
∴f（x）_min=f（m）=$\frac{{m}^{2}}{2}$-$\frac{3}{2}$m=-$\frac{11}{4}$m，無解，
綜上，m=$\frac{1}{4}$或$\frac{4}{11}$；
（Ⅲ）假定存在A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，
則有K_AB=$\frac{1}{2}$（x₁³+x₁x₂+x₂³）-$\frac{3}{2}$f′（x）=$\frac{3}{2}$x²-$\frac{3}{2}$，
依題意f′（x₁）=f′（x₂）=$\frac{3}{2}$x₁²-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$x₂²-$\frac{3}{2}$且x₁≠x₂
∴x₁=-x₂，k_AB=$\frac{1}{2}$x₁²-$\frac{3}{2}$，
又K_AB-f′（x₁）=-1得（$\frac{1}{2}$x₁²-$\frac{3}{2}$）-$\frac{3}{2}$（x₁²-1）=-1
化簡得x₁⁴-4x₁²+$\frac{13}{3}$=0，△＜0，無解，
∴假設不成立，故不存在．

點評 本題主要考查了函數(shù)導數(shù)與函數(shù)切線斜率之間的關系，屬于導數(shù)的常規(guī)題．