Question

已知三角形PAD所在平面與矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=120°，若點(diǎn)P，A，B，C，D都在同一球面上，則此球的表面積等于（　　）

• A、8π
• B、12π
• C、16π
• D、20π

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,球

分析：設(shè)球心為O，如圖．由于點(diǎn)P、A、B、C、D都在同一球面上，推出OP=OB=R，設(shè)OE=x，分別在直角三角形BOE中，和在直角三角形POH中，列出球的半徑的式子，通過(guò)解方程求得此球的半徑，從而得出球的表面積．

解答：解：設(shè)球心為O，如圖．
由PA=PD=AB=2，∠APD=120°，可求得AD=2

3

在矩形ABCD中，可求得對(duì)角線(xiàn)BD=4，故BE=2
由于點(diǎn)P、A、B、C、D都在同一球面上，
∴OP=OB=R
設(shè)OE=x，在直角三角形BOE中，
OB²=BE²+OE²=4+x²
過(guò)O作線(xiàn)段OH垂直平面PAD于H點(diǎn)，H是垂足，由于O點(diǎn)到面PAD的距離與點(diǎn)E到平面PAD的距離相等，故OH=1
∴在直角三角形POH中，PO²=OH²+PH²=1+（1+x）²
∴4+x²=1+（1+x）²，解得x=1，
∴球的半徑R=OB=

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則此球的表面積等于=4πR²=20π．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查球的體積和表面積，解題的根據(jù)是點(diǎn)P、A、B、C、D都在同一球面上，考查計(jì)算能力，空間想象能力．