Question

已知函數(shù)f（x）=

x+b

x2+4

是奇函數(shù)（b∈R），若f（x）＜a對一切實(shí)數(shù)x都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，即f（0）=0，求得b的值，再利用分類討論的思想，根據(jù)基本不等式求出a的范圍．

解答： 解：∵f（x）=

x+b

x2+4

是奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
∴b=0，
∴f（x）=

x

x2+4

，
當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0＜a，
當(dāng)x＞0時(shí)，
∴f（x）=

x

x2+4

=

1

x+ 4 x

≤

1

4

＜a，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號，
當(dāng)x＞0時(shí)，
∴f（x）=

x

x2+4

=

1

x+ 4 x

=-

1

(-x)+(- 4 x )

≤-

1

4

＜a，當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時(shí)取等號，
∵f（x）＜a對一切實(shí)數(shù)x都成立，
∴a＞

1

4

，
故a的取值范圍是（

1

4

，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和基本不等式，以及函數(shù)恒成立的問題，屬于中檔題．