Question

定義在R上的函數(shù)及二次函數(shù)滿足：且。

（1）求和的解析式；

（2）；

（3）設(shè)，討論方程的解的個(gè)數(shù)情況．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）當(dāng)時(shí),方程有個(gè)解;

當(dāng)時(shí),方程有個(gè)解;當(dāng)時(shí),方程有個(gè)解;當(dāng)時(shí),方程有個(gè)解.

【解析】

試題分析：（1）求函數(shù)解析式，滿足可利用方程組求解，由解得: ，而為二次函數(shù)，其解析式應(yīng)用待定系數(shù)法求解可設(shè)，再根據(jù)三個(gè)條件且，列三個(gè)方程組解得，（2）不等式恒成立問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，本題轉(zhuǎn)化為左邊最小值不小于右邊最大值，右邊函數(shù)無(wú)參數(shù)，先根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出其最大值，這樣就轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒不小于零的問(wèn)題，利用實(shí)根分布可得到充要條件所以（3）研究解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，需先研究函數(shù)圖像，解方程，實(shí)際有兩層，由解得；再由得兩個(gè)解，由得三個(gè)解，結(jié)合這些解的大小，可得到原方程解得情況.

試題解析：(1) ,①

即②

由①②聯(lián)立解得: . 2分

是二次函數(shù), 且,可設(shè),

由,解得.

. 4分

(2)設(shè),

,

依題意知:當(dāng)時(shí),

,在上單調(diào)遞減,

6分

在上單調(diào)遞增,

解得:

實(shí)數(shù)的取值范圍為. 9分

(Ⅲ)設(shè),由(2)知,

的圖象如圖所示:

設(shè),則

當(dāng),即時(shí), ,有兩個(gè)解, 有個(gè)解;

當(dāng),即時(shí), 且,

有個(gè)解; 2分

當(dāng),即時(shí), ,有個(gè)解;

當(dāng),即時(shí), ,有個(gè)解. 13分

綜上所述:

當(dāng)時(shí),方程有個(gè)解;

當(dāng)時(shí),方程有個(gè)解;

當(dāng)時(shí),方程有個(gè)解;

當(dāng)時(shí),方程有個(gè)解. 14分

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的多種求法，不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程