Question

已知{a_n}為等差數(shù)列，且a₂=-1，a₅=8．
（I）求數(shù)列{|a_n|}的前n項和；
（II）求數(shù)列{2ⁿ•a_n}的前n項和．

Answer 1

解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
因為a₂=-1，a₅=8，所以
解得a₁=-4，d=3，…（2分）
所以a_n=-4+3（n-1）=3n-7，…（3分）
因此…（4分）
記數(shù)列{|a_n|}的前n項和為S_n，
當(dāng)n=1時，S₁=|a₁|=4，
當(dāng)n=2時，S₂=|a₁|+|a₂|=5，
當(dāng)n≥3時，S_n=S₂+|a₃|+|a₄|+…+|a_n|=5+（3×3-7）+（3×4-7）+…+（3n-7）
=，
又當(dāng)n=2時滿足此式，
綜上，…（8分）
（II）記數(shù)列{2ⁿa_n}的前n項和為T_n，由（I）可知，a₁=-4，d=3，a_n=3n-7，
則，①
，②
①-②可得
=-8+3×-2ⁿ⁺¹（3n-7）
=-8+3（2ⁿ⁺¹-4）-2ⁿ⁺¹（3n-7）
=-20-（3n-10）2ⁿ⁺¹，
故T_n=20+（3n-10）2ⁿ⁺¹…（13分）
分析：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₂=-1，a₅=8，利用等差數(shù)列的通項公式能求出a_n，由此能求出數(shù)列{|a_n|}的前n項和；（II）記數(shù)列{2ⁿa_n}的前n項和為T_n．則，由錯位相減法可求和．
點評：本題考查數(shù)列的求和中的錯位相減法求和，屬中檔題．