Question

16．已知f（x）=2sinxcosx-cos2x，若a∈（0，$\frac{π}{2}$），且f（a）=1，則a=$\frac{π}{4}$；若x∈[-$\frac{π}{24}，\frac{π}{2}$]，則f（x）的值域是[$-\frac{\sqrt{6}}{2}，\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 首先通過三角函數(shù)的恒等變換，把函數(shù)的關系式變性成正弦型函數(shù)，進一步利用函數(shù)的值確定a的值，進一步利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域．

解答 解：f（x）=2sinxcosx-cos2x
=sin2x-cos2x
=$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$．
①若a∈（0，$\frac{π}{2}$），且f（a）=1，
則：$\sqrt{2}sin（2a-\frac{π}{4}）=1$，
所以：$2a-\frac{π}{4}=2kπ+\frac{π}{2}$，
解得：$a=kπ+\frac{π}{4}$（k∈Z）
由于：a∈（0，$\frac{π}{2}$），
所以：當k=0時，$a=\frac{π}{4}$．
②已知：$-\frac{π}{24}≤x≤\frac{π}{2}$，
所以：$-\frac{π}{3}≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{3π}{4}$，
則：$-\frac{\sqrt{3}}{2}≤sin（2x-\frac{π}{4}）≤1$，
則：$-\frac{\sqrt{6}}{2}≤f（x）≤\sqrt{2}$，
即：f（x）的值域為：[$-\frac{\sqrt{6}}{2}，\sqrt{2}$]．
故答案為：①$\frac{π}{4}$，②[$-\frac{\sqrt{6}}{2}，\sqrt{2}$]

點評 本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的求值問題，利用正弦型函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域，主要考查學生的應用能力．