Question

已知橢圓c：=1（a＞b＞0），左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，上頂點(diǎn)A（0，b），△AF₁F₂是正三角形且周長(zhǎng)為6．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；
（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是直線F₁A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)橢圓的定義和△AF₁F₂周長(zhǎng)為6，建立關(guān)于a、b、c的方程組，解之得a=2、b=且c=1，即可得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，用離心率的公式即可得到該橢圓的離心率；
（2）設(shè)直線AF₁的方程為y=（x+1），求出原點(diǎn)O關(guān)于直線AF₁的對(duì)稱點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-，），從而得到|PF₂|+|PM|的最小值為|MF₂|=，再由MF₂的方程y=-（x-1）與AF₁方程聯(lián)解，即可得到此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）由題意，得，解之得a=2，b=，c=1
故橢圓C的方程為=1，離心率e=；
（2）∵△AF₁F₂是正三角形，可得直線AF₁的斜率為k=tan=
∴直線AF₁的方程為y=（x+1）
設(shè)點(diǎn)O關(guān)于直線AF₁的對(duì)稱點(diǎn)為M（m，n），則，
解之得m=-，n=，可得M坐標(biāo)為（-，），
∵|PO|=|PM|，|PF₂|+|PO|=|PF₂|+|PM|＞|MF₂|
∴|PF₂|+|PM|的最小值為|MF₂|==
直線MF₂的方程為y=（x-1），即y=-（x-1）
由解得，所以此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-，）．
綜上所述，可得求|PF₁|+|PO|的最小值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-，）．
點(diǎn)評(píng)：本題在已知橢圓上頂點(diǎn)與焦距構(gòu)成正三角形的周長(zhǎng)情況下，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并依此求一個(gè)距離和的最小值．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和運(yùn)用對(duì)稱解決距離之和最小值等知識(shí)，屬于中檔題．