Question

已知函數(shù)f(x)=

1

a

-

1

x

（a≠0，x≠0）．
（1）設(shè)F（x）=f（x）-a，且F（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由已知先求出F（x），進(jìn)而求出F（-x），根據(jù)已知F（x）為奇函數(shù)可求a
（2）根據(jù)單調(diào)性的定義，先 任取x₁＞x₂＞0，然后利用作差法比較f（x₁）與fx₂）的大小即可判斷函數(shù)的單調(diào)性

解答：解  （1）∵F(x)=f(x)-a=

1

a

-

1

x

-a…（3分）
∴F(-x)=

1

a

+

1

x

-a
又因?yàn)镕（-x）為奇函數(shù)，
所以 F(-x)+F(x)=

2

a

-2a=0…（5分）
解得 a=1或a=-1…（7分）
（2）證明  任取x₁＞x₂＞0，
f（x₁）-f（x₂）=（

1

a

-

1

x1

）-（

1

a

-

1

x2

）=（

1

x2

-

1

x1

）=

x1-x2

x1x2

   …（10分）
∵x₁＞x₂＞0，∴x₁x₂＞0，x₁-x₂＞0，…（12分）
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)              …（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的單調(diào)性的定義的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題