Question

【題目】（1）已知函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.

①求函數(shù)的定義域；

②求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

（2）給出如下定義：如果是曲線和曲線的公共點(diǎn)，并且曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線重合，則稱曲線與曲線在點(diǎn)處相切，點(diǎn)叫曲線和曲線的一個(gè)切點(diǎn).試判斷曲線：與曲線：是否在某點(diǎn)處相切？若是，求出所有切點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）①定義域②在定義域上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

(2)見解析

【解析】

(1)①由得，即可得定義域; ②先由題意得 ，再構(gòu)造函數(shù)，討論或，研究函數(shù)F(x)單調(diào)性，即可得出其零點(diǎn)個(gè)數(shù);

(2)由（1）中②知在定義域上有且只有0一個(gè)零點(diǎn),則方程在定義域上有且只有1這一個(gè)解，從而可得公共點(diǎn)為，分別求函數(shù)f(x)、g（x）在處的導(dǎo)數(shù)，即可驗(yàn)證該點(diǎn)為公共切點(diǎn).

（1）①令得 即定義域

②由題意得

其中是增函數(shù)

若 則有下表

		0
	-	0	+
	-	0	+
	↘	極小值	↗

∴在定義域上有且只有0一個(gè)零點(diǎn)

若

∵在上是增函數(shù)

且，

∴存在唯一的，使得，且有下表

	-	0	+
	-	0	+
	↘	極小值	↗

∴ （i）

令 則

		0
	-	0	+
	↘	極小值	↗

∴，

∴，，，

∴ （ii）

∴由（i）上方表格的最后一行及（）（）得在定義域上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)

綜上，在定義域上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

（2）由（1）中②知在定義域上有且只有0一個(gè)零點(diǎn)

∴方程在定義域上有且只有1這一個(gè)解

又∵

∴曲線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

又∵，

∴，

∴曲線與曲線在處的切線方程均為即

∴曲線與曲線僅在一個(gè)點(diǎn)處相切，這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為