設直線3x+4y-5=0與圓C1:x2+y2=4交于A,B兩點,若圓C2的圓心在線段AB上,且圓C2與圓C1相切,切點在圓C1的劣弧
AB
上,則圓C2的半徑的最大值是
 
分析:先根據(jù)圓C1的方程找出圓心坐標與半徑R的值,找出圓C2的半徑的最大時的情況:當圓c2的圓心Q為線段AB的中點時,圓c2與圓C1相切,切點在圓C1的劣弧
AB
上,設切點為P,此時圓C2的半徑r的最大.求r的方法是,聯(lián)立直線與圓的方程,消去y后得到關于x的一元二次方程,利用韋達定理求出Q的橫坐標,把Q的橫坐標代入直線方程即可求出Q的縱坐標,得到Q的坐標,利用兩點間的距離公式求出兩圓心的距離OQ等于d,然后根據(jù)兩圓內切時,兩圓心之間的距離等于兩半徑相減可得圓C2的半徑最大值.
解答:精英家教網(wǎng)解:由圓C1:x2+y2=4,可得圓心O(0,0),半徑R=2
如圖,當圓c2的圓心Q為線段AB的中點時,圓c2與圓C1相切,切點在圓C1的劣弧
AB
上,設切點為P,此時圓C2的半徑r的最大.
聯(lián)立直線與圓的方程得
3x+4y-5=0
x2+y2=4
,消去y得到25x2-30x-39=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=
6
5
,所以線段AB的中點Q的橫坐標為
3
5
,把x=
3
5
代入直線方程中解得y=
4
5

所以Q(
3
5
,
4
5
),則兩圓心之間的距離OQ=d=
(
3
5
)
2
+(
4
5
)
2
=1,
因為兩圓內切,所以圓c2的最大半徑r=R-d=2-1=1
故答案為:1
點評:此題考查學生掌握兩圓內切時兩半徑所滿足的條件,靈活運用韋達定理及兩點間的距離公式化簡求值,是一道中檔題.
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B.
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