【題目】已知函數(shù)，.

（1）若在處取得極值，求實(shí)數(shù)的值；

（2）對任意實(shí)數(shù)，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，證明：存在唯一，使得，且.

【答案】（1）1;（2）;（3）證明見解析.

【解析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，利用極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為零可求實(shí)數(shù)的值，注意進(jìn)行驗(yàn)證；

（2）分離參數(shù)，，只需要求解的最大值即可；

（3）先利用函數(shù)單調(diào)性及邊界值的符號證明存在性和唯一性，再構(gòu)造函數(shù)結(jié)合單調(diào)性證明.

（1），因?yàn)?/span>在處取得極值，所以，

解得；此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；所以在處取得極小值.

故.

（2）因?yàn)閷θ我鈱?shí)數(shù)，都有，所以；

令，則，

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；

所以有最大值，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（3）①先證明存在性和唯一性；

由得，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

，，

令，則，

所以存在唯一的使得.

由（2）知，在遞減，在上遞增，

因?yàn)?/span>，時(shí)，，所以存在唯一的使得.

②欲證，只需證明；

因?yàn)?/span>，且，即證，

，即證，

由于在單調(diào)遞減，且時(shí)，，所以，

所以.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知由樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)集合，求得的回歸直線方程為，且，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)和誤差較大，去除后重新求得的回歸直線l的斜率為1.2，則（ ）

A.變量x與y具有正相關(guān)關(guān)系B.去除后的回歸方程為

C.去除后y的估計(jì)值增加速度變快D.去除后相應(yīng)于樣本點(diǎn)的殘差為0.05

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品被檢測出其中一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)存在問題. 該企業(yè)為了檢查生產(chǎn)該產(chǎn)品的甲、乙兩條流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)地從這兩條流水線上生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取件產(chǎn)品作為樣本，測出它們的這一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值.若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)，則為合格品，否則為不合格品.表 1是甲流水線樣本的頻數(shù)分布表，如圖所示是乙流水線樣本的頻率分布直方圖.

表1 甲流水線樣本的頻數(shù)分布表

質(zhì)量指標(biāo)值

頻數(shù)

（1）若將頻率視為概率，某個(gè)月內(nèi)甲、乙兩條流水線均生產(chǎn)了萬件產(chǎn)品，則甲、乙兩條流水線分別生產(chǎn)出不合格品約多少件？

（2）在甲流水線抽取的樣本的不合格品中隨機(jī)抽取兩件，求兩件不合格品的質(zhì)量指標(biāo)值均偏大的概率；

（3）根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并判斷在犯錯(cuò)誤概率不超過的前提下能否認(rèn)為“該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩條流水線的選擇有關(guān)”？

甲生產(chǎn)線

乙生產(chǎn)線

合計(jì)

合格品

不合格品

合計(jì)

附：（其中為樣本容量）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)從購買該平臺(tái)某課程的客戶中，隨機(jī)抽取了100位客戶的數(shù)據(jù)，并將這100個(gè)數(shù)據(jù)按學(xué)時(shí)數(shù)，客戶性別等進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，整理得到如表：

學(xué)時(shí)數(shù)

男性

18

12

9

9

6

4

2

女性

2

4

8

2

7

13

4

（1）根據(jù)上表估計(jì)男性客戶購買該課程學(xué)時(shí)數(shù)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）；

（2）從這100位客戶中，對購買該課程學(xué)時(shí)數(shù)在20以下的女性客戶按照分層抽樣的方式隨機(jī)抽取7人，再從這7人中隨機(jī)抽取2人，求這2人購買的學(xué)時(shí)數(shù)都不低于15的概率．

（3）將購買該課程達(dá)到25學(xué)時(shí)及以上者視為“十分愛好該課程者”，25學(xué)時(shí)以下者視，為“非十分愛好該課程者”．請根據(jù)已知條件完成以下列聯(lián)表，并判斷是否有99．9%的把握認(rèn)為“十分愛好該課程者”與性別有關(guān)？

非十分愛好該課程者

十分愛好該課程者

合計(jì)

男性

女性

合計(jì)

100

附：，

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】每年的寒冷天氣都會(huì)帶熱“御寒經(jīng)濟(jì)”，以餐飲業(yè)為例，當(dāng)外面太冷時(shí)，不少人都會(huì)選擇叫外賣上門，外賣商家的訂單就會(huì)增加，下表是某餐飲店從外賣數(shù)據(jù)中抽取的5天的日平均氣溫與外賣訂單數(shù).

（Ⅰ）經(jīng)過數(shù)據(jù)分析，一天內(nèi)平均氣溫與該店外賣訂單數(shù)（份）成線性相關(guān)關(guān)系，試建立關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測氣溫為時(shí)該店的外賣訂單數(shù)（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；

（Ⅱ）天氣預(yù)報(bào)預(yù)測未來一周內(nèi)（七天），有3天日平均氣溫不高于，若把這7天的預(yù)測數(shù)據(jù)當(dāng)成真實(shí)數(shù)據(jù)，則從這7天任意選取2天，求恰有1天外賣訂單數(shù)不低于160份的概率.

附注：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，，，，，異面直線PA和CD所成角等于60°.

（1）求直線PC和平面PAD所成角的正弦值的大�。�

（2）在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角A-BE-D的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)E在棱PA上的位置；若不存在，說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】第三屆移動(dòng)互聯(lián)創(chuàng)新大賽，于2017年3月～10月期間舉行，為了選出優(yōu)秀選手，某高校先在計(jì)算機(jī)科學(xué)系選出一種子選手，再從全校征集出3位志愿者分別與進(jìn)行一場技術(shù)對抗賽，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)， 與這三位志愿者進(jìn)行比賽一場獲勝的概率分別為，且各場輸贏互不影響.

（1）求甲恰好獲勝兩場的概率；

（2）求甲獲勝場數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)相同.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）若直線與曲線都只有一個(gè)公共點(diǎn)，記直線與拋物線的公共點(diǎn)為P，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，是邊長為4的正方形，平面，分別為的中點(diǎn).

（1）證明：平面.

（2）若，求二面角的正弦值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案